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Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. März, 2000 - 20:33: | 
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Lösen einer Gleichung in Abhängigkeit von a&b.
Gauss`sche Elimination? Fallunterscheidung?
Bitte mal anschauen.
x - 2*y + 2*z = 3
-2*x + 4*y - 6*z = 2*a
x + b*y + 3*z = -1 |
Ingo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. März, 2000 - 23:48: |
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Nehmen wir mal die Gauß-Variante.
(1) x-2y+2z=3
(2) -2x+4y-6z=2a
(3) x+by+3z=-1
(1) x-2y+2z=3
(3)-(1) (b+2)y+z=-4
(2)+2*(1) -2z=2a+6
nun erkennst Du,daß das System für b¹-2 eindeutig lösbar ist.Die Lösung lautet dann
z=3-a ; y=(-4-z):(b+2)=(a-7):(b+2) ; x=3+2y-2z=...
Für b=-2 muß 2a+6=8,also a=1 erfüllt sein.Dann gibt es unendlich viele Lösungen.(Welche?)
Ist b=-2 und a¹1,dann gibt es keine Lösung. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. März, 2000 - 15:18: |
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Hi Anonimus,
Zur Lösung von Ingo ist eine kleine Korrektur anzubringen:
Für einen von -2 verschiedenen b -Wert lautet die allgemeine Lösung
(wie sich auch aus der Herleitung ergibt) : z = - 3 - a ,
y = ( a - 1 ) / ( b + 2 ) , x wie angegeben.
Der eingeschlagene Lösungsweg mit der Gauss-Elimination ist durchaus angebracht.
Sofern Du die Determinanten kennst , kannst Du es auch mit der Cramerschen Regel versuchen:
Die Determinante D der Koeffizientenmatrix auf der linken Seite des Systems ergibt : D = 2 * ( 2 + b )
In einem ersten Fall setzt man b verschieden von - 2 voraus,
damit ist gleichbedeutend, dass die Determinante D des Gleichungssysteems von null verschieden ist ; das System hat genau ein Lösungstripel , welches mit der Cramerschen Regel wie folgt ermittelt wird
In der Determinante des Systems wird die i-te Spalte durch die zu-
gehörigen Formvariablen der rechten Seite ersetzt ( i = 1, 2, 3 ) .
Man erhält der Reihe nach die Determinanten Dx, Dy, Dz mit den folgenden Werten :
Dx = 2 * (16 + 6a + 9b + 2ab ) , Dy = 2 * ( a - 1 ),
Dz = - 2 * ( 6 + 2a + 3b + ab) = - 2 (2 + b ) ( 3 +a ) ; daraus die Lösungen : x = Dx / D = (16 + 6a + 9b + 2ab) / ( 2 + b ) y = Dy / D = ( a - 1 ) / ( 2 + b )
z = Dz / D = - 3 - a
2.Fall : b = - 2 Wir setzen diesen Wert in die dritte Gleichung ein und sehen sofort, wenn a von 1 verschieden ist ,dass die zweite und dritte
Gleichung sich widersprechen ; Folgerung: in diesem Unterfall hat das System keine Lösung.
Ist aber a = 1 , so ergeben sich unendlich viele Lösungen, da die zweite und dritte Gleichung identisch sind.
Diese unendlich vielen Lösungen lassen sich mit Hilfe eine reellen Parameters wie folgt darstellen:
Wir wählen etwa y = t und bekommen : x = 11 + 2y = 11 + 2t
y = t (wie postuliert) und z = - 4 .
Hoffentlich ist alles klar !
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
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