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Beitrag |
    
Janine (Jkjk)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 16:15: | 
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Hallo !
1. Gesucht ist eine ganzrationalen Funktion dritten Grades, die im Ursprung und im Punkt P(2/4) jeweils ein Extremum hat.
2. Gesucht ist eine ganzrationale Funktion
dritten Grades, die symmetrisch zum Ursprung des
Koordinatensystems ist und den Minimumpunkt
P(1/-2) hat.
3. Gesucht ist der zur y-Achse symmetrische Graph
einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, der durch P(0/2) geht und bei x=2 ein Extremum hat.
Er berührt dort die x-Achse.
Vielen Dank ! |
K.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 10:42: |
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Hallo Janine
1.) Die allgemeine Gleichung einer ganz-rationalen Funktion 3. Grades lautet:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
Ihre Ableitungen sind:
f'(x)=3ax²+2bx+c
f"(x)=6ax+2b
O(0/0) liegt auf f: f(0)=0 <=> d=0
O(0/0) ist Extremum: f'(0)=0 <=> c=0
P(2/4) liegt auf f: f(2)=4 <=> 8a+4b+2c+d=4 => 8a+4b=4 => 2a+b=1 => b=1-2a
P ist Extremum: f'(2)=0 <=> 12a+4b+c=0 => 12a+4b=0 => 3a+b=0
=> (mit b=1-2a) 3a+1-2a=0 <=> a+1=0 <=> a=-1
=> b=1-2*(-1)=1+2=3
f(x)=-x³+3x²
2.) Symmetrisch zum Ursprung bedeutet: nur ungerade Exponenten; also
f(x)=ax³+cx
f'(x)=3ax²+c
P(1/-2) liegt auf f: f(1)=-2 <=> a+c=-2 <=> c=-2-a
P ist Minimum: f'(1)=0 <=> 3a+c=0 <=> c=-3a
Gleich setzen ergibt:
-2-a=-3a <=> 2a=2 <=> a=1
=> c=-2-1=-3
=> f(x)=x³-3x
3.) symmetrisch zur y-Achse; also nur gerade Exponenten
f(x)=ax4+bx²+c
f'(x)=4ax³+2bx
P(0/2) liegt auf f: f(0)=2 <=> c=2
Extremum bei x=2: f'(2)=0 <=> 32a+4b=0 <=> 8a+b=0 <=> b=-8a
x=2 Nullstelle: f(2)=0 <=> 16a+4b+c=0 => (mit c=2) 16a+4b+2=0
=> (mit b=-8a) 16a-32a+2=0
<=> -16a+2=0
<=> 16a=2
<=> a=1/8
=> b=-8a=-8*(1/8)=-1
also
f(x)=(1/8)x4-x²+2
Mfg K. |
Janine (Jkjk)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 11:20: |
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Vielen Dank und viele Grüße ! |
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