| Autor |
Beitrag |
    
Nina
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Dezember, 2001 - 10:59: | 
|
Eine Funktion f ist gegeben durch f(x)= a hoch 4 / (x² +3 a²)
x E R
a> 0
also extrem werte wendepunkte und so konnte ich brechenen aber wie komm ich auf die asymptoten....kann das wer? bitte erklärt mir das!
E=(0; a²/3) W=(+-a; a²/4)
DIe verbindungslinie der wendepunkte von f(x) und die beiden wendetangenten bilden ein dreieck. für welchen wert für a ist dieses dreieck rechtwinkelig?
Wie mach ich sowas? ich hab keine ahnung wie ich da ansetzen muss.
genauso wenig bei der nächsten frage....
kann mir das bitte wer vorrechenen!!
ein punkt P(u/v) liegt im ersten feld auf dem graphen von f(x). P ist ein eckpunkt eines achsenparalellen rechtecks, das der fläche zwischen f(x) und der x-achse eingeschrieben ist. wie müssen die koordinaten von p gewählt werden, damit der inhalt des rechtecks ein maximum wird. Wie groß ist der flächeninhalt. für welchen wert von a ist dieses rechteck mit maximalem inhalt ein quadrat? |
K.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Dezember, 2001 - 09:36: |
|
Hallo Nina
lim(x->oo)f(x)=lim(x->oo)[a4/(x²+3a²)]=0
Damit ist die Gerade y=0 (also die Achse Asymptote).
Wendepunkte sind W1(a|a²/4) und W2(-a|a²/4)
Das Dreieck aus den beiden Wendepunkten und dem Schnittpunkt der Wendetangenten ist dann rechtwinklig,
wenn die Wendetangenten senkrecht zueinander sind;
d.h. wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ist.
Also als erstes die Steigung der Wendetangenten bestimmen (1. Ableitung im Wendepunkt)
f'(x)=-2a4x/(x²+3a²)²
=>m1=f'(a)=-2a5/(a²+3a²)²=-2a5/16a4=-a/8
m2=f'(-a)=a/8
m1*m2=-1 <=> -a/8*a/8=-1
<=> -a²/64=-1
<=> a²=64
=> a=8 oder a=-8
P(u/v) liegt auf f; also
v=f(u)=a4/(u²+3a²)
Die Seiten des Rechtecks sind damit
Länge=2u und Breite=a4/(u²+3a²)
Für den Flächeninhalt gilt dann
A=Länge*Breite
A(u)=2u*a4/(u²+3a²)
A'(u)=[2a4(u²+3a²)-2ua4*2u]/(u²+3a²)²
=(6a6-4a4u²)/(u²+3a²)²
A'(u)=0
<=> 6a6-4a4u²=0
<=> 4a4u²=6a6 |:a4
<=> 4u²=6a²
<=> u²=6a²/4
=> u=(a/2)Ö6
A=2*(a/2)Ö6*a4/((6a²/4)+3a²)}
A=a5Ö6/(9a²/2)
A=2a5Ö6/9a²=2a³Ö6/9 ist der Flächeninhalt
und die Koordinaten von P sind u=a/2*Ö6 und v=2a²/9
Dieses Rechteck ist ein Quadrat, wenn gilt
Breite=v=ÖA
<=> 2a²/9=Ö(2a³Ö6/9)
=> 4a4/81=2a³Ö6/9
<=> 4a4/9=2a³Ö6
<=> 4a/9=2Ö6
<=> 4a=18Ö6
<=> a=9/2*Ö6
=> a=11,022
Bitte rechne alles nach.
Mfg K. |
|
