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Berechnung von Punkten in Ebene und Raum

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » Berechnung von Punkten in Ebene und Raum « Zurück Vor »

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Lars (Tvkaiser)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Dezember, 2001 - 22:27:   Beitrag drucken

Hallo ich hab mal n ganz dringenede Frage. Und zwar habe ich eine Aufgabe bekommen und hab mich jetzt schon mehrmals dahinter gehockt aber weis einfach nicht wie ich das lösen soll. Könntet ihr mir das lösen damit ich die einzelnen Schritte mal nachverfolgen kannn? Danke
Aufgabe:
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte At(t;1/2t;1),Bt(4;t+1;-2)und Ct(1/4t;5;t-3)mit t e(Element)R gegeben.

a) Bestimme alle Paramter t,für die das Dreieck ABC gleichseitig ist.

b)Für t=4 bildet das Dreieck A4B4C4 jeweils die Grundfläche von regelmäßigen,dreiseitien,geraden PyranidenA4B4C4Ds
Die Punkte Dsliegen auf einer Geraden g. Ermittle diese Gleichung der Geraden.

c)Bestimme die Koordinaten aller Punkte Ds, für die der Körper A4B4C4Dsein regelmäßiges Tetraeder ist.

d)Gegeben sind der Punkte P(4;5;1)und die Ebene E: x+y+z-5=0.
A'sei der durchstoßpunkt der Geraden g(PA4)mit der Ebene
B'sei Durchstoßpunkt der Geraden h(PB4)mit der Ebene
C'sei Durchstoßpunkt der Geraden l(PC4)mit der Ebene.
Zeichnen in ein geeignetes Koordinatensystem einen Würfel, der die Punkte A',B',C' und P als Eckpunkte hat.
Weisen sie nach, dass die Ebene den Würfel so in zwei Teilkörper zerlegt, dass sich deren Volumina wie 5:1 verhalten.
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Cooksen
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2001 - 23:41:   Beitrag drucken

Hallo Lars

zu a)
Zunächst rechnest Du die Längen der Strecken AtBt usw. aus. Genauer gesagt, genügt es ihre Quadrate zu bestimmen:
|AtBt|² = (5/4)t^2 - 7t + 26
|BtCt|² = (33/16)t^2 - 12t + 33
|CtAt|² = (29/16)t^2 - 13t + 41
Durch Gleichsetzen von |AtBt|² = |BtCt|² lässt sich t so bestimmen, dass zumindestens zwei Dreiecksseiten gleich lang sind. Du erhälst eine quadratische Gleichung in t, die vereinfacht so aussieht:
(13/16)t^2 - 5t + 7 = 0
=> t^2 - (80/13)t + (112/13) = 0
Die Gleichung hat die Lösungen
t = 4 und
t = 28/13.
Für diese Lösungen untersuchst Du, ob auch die dritte Seite |CtAt| des Dreiecks dieselbe Länge hat wie |AtBt| und |BtCt|.
Dies ist nur bei t = 4 der Fall.

zu b)
Da die Pyramide regelmäßig ist, liegen alle Punkte Ds auf der Geraden, die durch den Schwerpunkt S (Mittelpunkt) des Dreiecks A4B4C4 senkrecht zur Dreiecksebene verläuft:
S = (1/3)*[A4 + B4 + C4]
=(1/3)*[(4;2;1) + (4;5;-2) + (1;5;1)]
=(3/4/0)
Um den Richtungsvektor der Geraden zu bestimmen, musst du zuerst die Vektoren A4B4 und B4C4 berechnen und dann zu beiden Vektoren den Normalenvektor. (Ich schreibe hier die Komponenten von Vektoren einfachheitshalber nebeneinander):
Vektor(A4B4) = (0;3;-3)
Vektor(B4C4) = (-3;0;3)
Du findest schnell, dass der Vektor
n = (1;1;1)
zu beiden Dreiecksseiten senkrecht ist. Also liegt Ds auf der Geraden:
Vektor(x) = (3;4;0) + s*(1;1;1)
und Ds =(3+s;4+s;s)

zu c)
Wie in a) berechnest Du das Längenquadrat der Strecke A4Ds:
|A4Ds|² = 3s^2 + 6
Für die Dreicksseiten gilt:
|A4B4|² = 18
Diese beiden Seiten müssen gleichlang sein, also
3s^2 + 6 = 18
=> s = +/-2
D2 = (5/6/2) und D-2 = (1/2/-2) sind die beiden gesuchten Punkte, die das gleichseitige Dreieck zum Tetraeder ergänzen.

zu d)
Hier kann ich Dir nur die rechnerischen Resultate anbieten:
A' = (4;0;1)
B' = (4;5;-4)
C' = (-1;5;1)
Dann sind die Strecken PA', PB' und PC' Kanten des Würfels. Sie haben jeweils die Länge 5.
Die Ebene E schneidet von dem Würfel die Pyramide A'B'C'P ab. Nimm das Dreieck A'B'P als Grundfläche: Flächeninhalt (1/2)*5*5
Dann hat die Pyramide das Volumen (1/3)*Grundfläche*Höhe.
Höhe ist hier die Strecke PC'.
V = (1/3)*[(1/2)*5^2]*5 = (1/6)*5^3
Das Volumen des Restkörpers ist dann:
5^3 - (1/6)*5^3 = (5/6)*5^3.
Also teilt die Ebene den Würfel im Verhältnis 1/5.

Die Zeichnung zum letzten Aufgabenteil habe ich nicht mehr geschafft. Es ist auch schon spät.

Gruß Cooksen
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Lars (Tvkaiser)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 10:45:   Beitrag drucken

Hey Cooksen das war echt klasse von dir. Danke jetzt kann ich mir da wenigstens was drunter vorstellen. Die Zeichenaufgabe war ja dann auch nicht mehr so kniffelig.
Vielen DAnk nochmal und Tschaui

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