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Beitrag |
    
Theo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Dezember, 2001 - 17:21: | 
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Hallo,
Ich habe ein Problem, für welches ich keine
Lösung finde.
Es geht darum, die Gleichung einer Parabel zu finden,
die die x-Achse im Punkt P(2/0) und die y-Achse im Punkt
Q(0/1) berührt.
Für eine solche Parabel sind ausserdem die Koordinaten des Scheitels
und die Gleichung der Achse zu bestimmen.
Vielen Dank für jede Hilfe .
MfG
Theo |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Dezember, 2001 - 21:19: |
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Hi Theo,
Zur Lösung verwenden wir den Ansatz für einen allgemeine
Kegelschnitt in Form der allgemeinen Gleichung zweiten
Grades in x , y :
A x ^ 2 + 2 B x y + C y ^ 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0
Da die sechs Koeffizienten nur bis auf Proportionalität
bestimmt sind, können bei einer Bestimmungssaufgabe nur
fünf Bedingungen vorgegeben werden.
Zum Beispiel kann man fordern, dass der Kegelschnitt durch
fünf gegebene Punkte allgemeiner Lage geht.
Im vorliegenden Fall sind ausser den zwei Punkten P, Q
drei Tangenten gegeben, nämlich die x-Achse ,die y-Achse
sowie die unendlich ferne Gerade der (x,y)-Ebene.
Diese wird nämlich von jeder Parabel dieser Ebene berührt,
wie man von der projektiven Geometrie her weiss;
damit sind fünf unabhängigen Bedingungen aufgestellt.
Zur Vorbereitung der Rechnung ermitteln wir die Ableitung y `.
Wir erhalten durch implizites Differenzieren:
2 A x + 2 B y + 2 B x y ` + 2 C y y ` + 2 D + 2 E y ` = 0, daraus :
y` = - [ A x + B y + D] / [ B x + C y + E ]
Umsetzung der Bedingungen:
(1)
P(2/0) liegt auf der Parabel:
4 A + 4 D + F = 0
(2)
Q(0/1) liegt auf der Parabel:
C + 2 E + F = 0
(3)
Die Parabel berührt in P die x-Achse; somit
y` = 0 für x = 2 , y = 0 :
2 A + D = 0
(4)
Die Parabel berührt in Q die y-Achse; somit
1 / y` = 0 für x = 0 , y = 1 :
C + E = 0
(5)
Normierung (willkürlich )
D = 2
(6)
Damit eine Parabel entsteht, muss die Determinante
der quadratische Form A x ^ 2 + 2 B x y + C y ^ 2
verschwinden, d.h. es muss gelten:
A * C – B ^ 2 = 0
Aus den sechs Beziehungen (1) bis (6) folgt
A = - 1 , B = + 2 oder – 2 (zwei Fälle !)
C = - 4 , D = 2 (fixiert) , E = 4 , F = - 4
Die Gleichungen der Parabeln lauten somit
1.Fall: B = 2 (Normalfall)
- x ^ 2 + 4 x y – 4 y ^ 2 + 4 x + 8 y – 4 = 0
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2.Fall: B = - 2 (Spezialfall)
- x ^ 2 - 4 x y – 4 y ^ 2 + 4 x + 8 y – 4 = 0
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Fortsetzung folgt : Bestimmung des Scheitels und
der Achse der Parabel.
Mit freundlichen Güssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2001 - 10:34: |
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Hi Theo,
In einem erste Fall ist die Gleichung
x ^ 2 – 4 x y + 4 y ^ 2 – 4 x - 8 y + 4 = 0 zu untersuchen,
welche eine Parabel mit den verlangten Eigenschaften darstellt.
Wir haben die Gleichung aus der letzten Arbeit mit –1
multipliziert, sodass die Koeffizienten neu
A = 1 , B = - 2 , C = 4 , D = - 2 , E = - 4 , D = 4 , F = 4 lauten.
Wir berechnen den Richtungswinkel alpha der Parabelachse
mit der bekannten Formel :
tan (2 * alpha ) = 2 * B / (A - C ) = 4/3
sei m = tan(alpha) die Steigung der Parabelachse.
Dann gilt:
tan(2 * alpha) = 2 * m / ( 1 – m ^ 2) = 4/3.
Für m erhalten wir die quadratische Gleichung
2 m ^ 2 + 3 m – 2 = 0 mit den Lösungen:
m1 = - 2 und m2 = ½.
Dabei ist m2 die Steigung der Parabelachse a und
m1 stellt die dazu senkrechte Richtung der Scheiteltangente s dar.
Wir ermitteln zuerst die Gleichung von s, sodann berechnen
wir die Koordinaten des Scheitels S und schliesslich stellen
wir die Gleichung der Parabelachse a auf.
Ansatz für die Gleichung von s:
y = - 2 x + q
Die Konstante q lässt sich dadurch bestimmen, dass beim Schnitt
von s mit der Parabel der Punkt S als zweifach zu zählender
Schnittpunkt erscheint und die dabei auftretende quadratische
Gleichung eine Doppellösung aufweisen muss.
Durch einsetzen von y in die Gleichung der Parabel entsteht für
x die quadratische Gleichung:
25 x ^ 2 – 4* (5q –3) x + 4 (q - 1) ^ 2 = 0
Wir setzen die Diskriminante d dieser Gleichung null :
d = 400 q ^ 2 – 480 q + 144 – 400 q^2 + 800 q – 400 = 0,
Daraus q = 4/5
Scheiteltangente : y = - 2 x + 4/5.
Der x-Wert xS des Scheitels ergibt sich als die Doppellösung
der obigen quadratischen Gleichung zu
xS = [4(5q-1)] / 50 = 2 / 25, eingesetzt in die
Scheiteltangentengleichung ergibt yS = 16/25 ,also
Scheitel S der Parabel S(0,08 / 0,64)
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Gleichung der Achse der Parabel:
y – yS = ½ ( x – xS) ,also:
5 x – 10 y = - 6
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Anmerkungen
1.
Eine etwas elegantere Methode zur Ermittlung der Daten der Parabel
arbeitet mit den Eigenwerten und Eigenvektoren der quadratischen Form
die in der Parabelgleichung auftritt.
2.
Eine Zusatzaufgabe sei zur Lösung freigegeben.
Man ermittle noch die Gleichung der Leitgeraden L und den Parameter p
der Parabel.
3.
Behandlung des zweiten Falls
Die zweite Gleichung x ^ 2 + 4 x y + 4y ^ 2 – 4 x – 8 y + 4 = 0
stellt eine ausgeartete Parabel dar in Gestalt einer Doppelgeraden.
Die linke Seite der Gleichung lässt sich als ein Quadrat schreiben:
Es entsteht die Gleichung
(x + 2y – 2 ) ^ 2 = 0 , welche zweimal die Gerade PQ darstellt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Theo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2001 - 21:30: |
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Hallo H.R.Moser,megamath.
Vielen Dank für Deine interessante Herleitung
Vielleicht kann jemand noch den Parameter der
Parabel bestimmen !
Das Resultat würde mich interessieren .
mfG
Theo |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Dezember, 2001 - 09:24: |
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Hi Theo,
Lösung der Zusatzaufgabe.
Wir ermitteln zuerst eine Gleichung der Leitgeraden oder Direktrix.
Das geht ganz einfach mit Hilfe eines bekannten Parabelsatzes,
der da lautet:
Der geometrische Ort der Schnittpunkte zweier senkrechter
Parabeltangenten ist die Leitgerade, .und die Verbindungsgerade
ihrer Berührungspunkte geht durch den Brennpunkt der Parabel.
Nun spielen die Koordinatenachsen die Rolle der senkrechten Tangenten,
ihr Schnittpunkt, der Nullpunkt O des Koordinatensystems, ist somit
ein Punkt der Leitgeraden L; da L zur Scheiteltangente s parallel ist,
lautet die Gleichung von L:
y = - 2 x.
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Der Abstand u des Scheitels S der Parabel von der Leitgeraden L
stimmt mit der Hälfte des Parameters p der Parabel überein.
Wir berechnen u mit Hilfe des Abstandsformel von Hesse
Normalform von L ( 2x + y ) / wurzel (2 ^ 2 + 1 ^ 2) = 0 oder
(2 x + y ) / wurzel(5) = 0 ; ersetzt man darin x und y durch die
Koordinaten von S, so kommt:
u = ½ * p = [4/25 + 16/25] / wurzel(5) = 4 / [5*wurzel(5)],daraus
p = 8 / 25 * wurzel (5)
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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