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Hannes
| Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Dezember, 2001 - 17:52: |
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Hallo, Ich bitte um Hilfe bei der folgenden, recht schwierigen Aufgabe Im allgemeinen Punkt P1 der Hyperbel b^2 x^2 – a^2 y^2 = a^2 b^2 wird die Tangente gelegt, welche eine der Asymptoten in S schneidet. M und N seien die Fusspunkte der von S aus auf die Koordinatenachsen gefällten Lote. Man beweise, dass die Gerade MN durch P1 geht. Vielen Dank im voraus Hannes |
H.R.Moser,megamath
| Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Dezember, 2001 - 20:14: |
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Hi Hannes, Die Steigung m der Hyperbeltangente t in P1(x1/y1) ergibt sich durch implizites Differenzieren der Gleichung der Hyperbel nach x: b ^ 2 * 2 x – a ^ 2 * 2 y * y ` = 0 , draus m = y` (x1) = ( b^2 * x1) / ( a ^ 2 * y1 ) …………………..(1) Gleichung der Hyperbeltangente t: y = y1 + m * (x – x1) mit m aus (1)………………………(2) Gleichung einer Asymptote as : y = b / a * x ……………………………………………...(3) Schnitt t mit as (Gleichsetzung der y-Werte aus (2)und (3), Auflösung nach x ,der Abszisse des Schnittpunktes S von t und as): xS = [ a ^ 2 * b ] / [ b*x1 – a * y1 ] ......................................(4) daraus mit (3): yS = [ a * b ^ 2 ] / [ b*x1 – a * y1 ]………………………...(5) Damit erhalten wir auch die Koordinaten der Fusspunkte der Lote auf der x-Achse und der y-Achse: xM = xS , yM = 0 xN = 0 , yN = yS Gleichung der Geraden g = MN (Achsenform der Gleichung einer Geraden) : x / xM + y / yN = 1 also [b*x1 – a*y1] / [a^2 * b] * x + [b*x1 –a*y1] / [a * b^2] = 1… oder (b*x1 – a* y1) * b x + (b*x1 – a*y1 ) * a y = a^2 * b^2……(6) Jetzt kommt die Nagelprobe : Tatsächlich erfüllen die Koordinaten x1 , y1 von P1 die Gleichung (6),w.z.b.w. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
Hannes
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Dezember, 2001 - 10:31: |
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Hallo Dank an H.R.Moser,megamath ! Hannes |
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