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Vektorräume

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Justine (Missjp)
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Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 15:34:   Beitrag drucken

Hallo brauche wieder so schnell wie möglich eine Erklärung was ein reeller Vektorraum ist, was überhaupt ein Vektorraum ist? Und was ist ein Untervektorraum??
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Justine (Missjp)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 18:22:   Beitrag drucken

Hallo brauche wieder so schnell wie möglich eine Erklärung was ein reeller Vektorraum ist, was überhaupt ein Vektorraum ist? Und was ist ein Untervektorraum??
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AlexW
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Veröffentlicht am Montag, den 17. Dezember, 2001 - 00:40:   Beitrag drucken

Formal:
Sei K ein Körper. Eine Menge V mit einer Abbildung
+ : V x V -> V, (v,w) -> v+w (Addition) und einer Abbildung
* : K x V -> V, (µ,v) -> µ*v (Skalare Multiplikation) heißt Vektorraum über K, wenn gilt:
1. V zusammen mit + ist eine kommutative Gruppe, d.h v+w = w+v für alle v,w aus V.
2. Es gilt: (µ1+µ2)*v = µ1*v + µ2*v; µ*(v+w) = µ*v + µ*w; µ1*(µ2*v) = (µ1*µ2)*v; 1*v = v für alle µ,µ1,µ2 aus K und v,w aus V.
Ist V eine Teilmenge des R^n und K=R, so spricht man von einem reellen Vektorraum. Ein Untervektorraum(UVR) ist eine nichtleere Teilmenge eines Vektorraumes, die bezüglich der Addition und der skalaren Multiplikation abgeschlossen ist, d.h. addiere ich zwei Elemente des UVR, erhalte ich wieder ein Element aus dem UVR, multipliziere ich ein Element aus dem UVR mit einem Skalar, so erhalte ich wieder ein Element aus dem UVR.

Ein Beispiel: Wähle V=R² und K=R. Dann ist V mit der bekannten Vektoraddition und der bekannten skalaren Multiplikation ein Vektorraum und Untervektorräume sind alle Geraden, die durch den Ursprung gehen.
Hoffe, das hilft.
AlexW


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