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Beitrag |
    
Erich
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Dezember, 2001 - 09:00: | 
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Hallo,
Darf ich um Hilfe bitten für die Aufgabe:
Man beweise:
Wenn die Ebene a x + by + cz + d = 0 die Kugel
(x – 1 ) ^ 2 + y ^ 2 + (z – 1) ^ 2 = 1 berührt, so gilt:
a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = (a + c + d ) ^ 2 .
Geht die Tangentialebene noch durch den Punkt P(0/0/2),
so berührt ihre Schnittgerade mit der Ebene z = 0 die
Parabel y^2= 4x , z = 0.
Besten Dank für alles
Erich |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Dezember, 2001 - 11:48: |
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Hi Erich,
Die Kugel hat den Mittelpunkt M(1/0/1) und den Radius
r = 1.
Da die Eben E die Kugel berührt, stimmt ihr Abstand vom
Punkt M mit dem Radius r überein.
Wir schreiben E in Normalform:
[ax + by + cz + d ] / wurzel(a^2+ b^2 + c^2) = 0
Setzt man für x,y.z die Koordinaten von M ein,
ersetzt die Null rechts durch den Abstand 1
und schafft durch Quadrieren noch die Wurzel weg,
so erhält man die gewünschte Relation:
(a+c+d)^2 = a^2 +b^2 + c^2...................................(1)
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Soll E durch P gehen, so besteht die Beziehung
2 c + d = 0 , oder d = - 2 c ......................................(2)
°°°°°°°°°°°
Dies setzen wir in (1) ein und bekommen:
b^2 = - 2 a * c..........................................................(3)
°°°°°°°°°°°°°°
Jetzt schneiden wir E mit der (x,y)-Ebene ,indem
wir z = 0 in die Ebenengleichung einsetzen;
es kommt:
y = - a / b * x – d / b………………………………(4)
als Gleichung der Spur s von E in der Ebene z = 0.
Nun schneiden wir s mit der gegebenen Parabel
y ^ 2 = 4 x ...............................................................(5)
(4) eingesetzt in (5) führt auf die quadratische
Gleichung in x:
a^2* x^2 + 2*(ad – 2 b^2)*x– 4a^2 d^2 = 0
Wenn s die Parabel berühren soll, verschwindet
die Diskriminante D dieser Gleichung und umgekehrt.
Wir weisen nach, dass D = 0 ist, also Berührung
stattfindet.
D = 16 b^2 * ( b^2 – a * d)
Wir benützen der Reihe nach (3) und (2):
D = 16 b^2*( -2ac – ad ) = 16 a b ^ 2 * (- 2c – d)
= 16 a b^2 * ( - 2 c + 2 c ) = 0, w.z.z.w.
Kommentar
Alle Kugeltangenten, welche durch P gehen, sind
Mantellinien eines Rotationskegels mit der Spitze P
und der Achse PM. Die gegebene Kugel ist
eine Inkugel dieses Tangentialkegels.
Der Kegel schneidet die Ebene z = 0 in einem
„Kegelschnitt“, im vorliegenden Fall in der Parabel
y ^ 2 = 4 x
Die Tangentialebene E der Kugel durch P ist zugleich
eine Tangentialebene des Kegels.
Daher berührt die Schnittgerade s von E mit z = 0
die in dieser Ebene liegende Schnittparabel.
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MfG
H.R.Moser,megamath. |
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