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Erich
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Dezember, 2001 - 09:00: |
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Hallo, Darf ich um Hilfe bitten für die Aufgabe: Man beweise: Wenn die Ebene a x + by + cz + d = 0 die Kugel (x – 1 ) ^ 2 + y ^ 2 + (z – 1) ^ 2 = 1 berührt, so gilt: a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = (a + c + d ) ^ 2 . Geht die Tangentialebene noch durch den Punkt P(0/0/2), so berührt ihre Schnittgerade mit der Ebene z = 0 die Parabel y^2= 4x , z = 0. Besten Dank für alles Erich |
H.R.Moser,megamath
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Dezember, 2001 - 11:48: |
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Hi Erich, Die Kugel hat den Mittelpunkt M(1/0/1) und den Radius r = 1. Da die Eben E die Kugel berührt, stimmt ihr Abstand vom Punkt M mit dem Radius r überein. Wir schreiben E in Normalform: [ax + by + cz + d ] / wurzel(a^2+ b^2 + c^2) = 0 Setzt man für x,y.z die Koordinaten von M ein, ersetzt die Null rechts durch den Abstand 1 und schafft durch Quadrieren noch die Wurzel weg, so erhält man die gewünschte Relation: (a+c+d)^2 = a^2 +b^2 + c^2...................................(1) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Soll E durch P gehen, so besteht die Beziehung 2 c + d = 0 , oder d = - 2 c ......................................(2) °°°°°°°°°°° Dies setzen wir in (1) ein und bekommen: b^2 = - 2 a * c..........................................................(3) °°°°°°°°°°°°°° Jetzt schneiden wir E mit der (x,y)-Ebene ,indem wir z = 0 in die Ebenengleichung einsetzen; es kommt: y = - a / b * x – d / b………………………………(4) als Gleichung der Spur s von E in der Ebene z = 0. Nun schneiden wir s mit der gegebenen Parabel y ^ 2 = 4 x ...............................................................(5) (4) eingesetzt in (5) führt auf die quadratische Gleichung in x: a^2* x^2 + 2*(ad – 2 b^2)*x– 4a^2 d^2 = 0 Wenn s die Parabel berühren soll, verschwindet die Diskriminante D dieser Gleichung und umgekehrt. Wir weisen nach, dass D = 0 ist, also Berührung stattfindet. D = 16 b^2 * ( b^2 – a * d) Wir benützen der Reihe nach (3) und (2): D = 16 b^2*( -2ac – ad ) = 16 a b ^ 2 * (- 2c – d) = 16 a b^2 * ( - 2 c + 2 c ) = 0, w.z.z.w. Kommentar Alle Kugeltangenten, welche durch P gehen, sind Mantellinien eines Rotationskegels mit der Spitze P und der Achse PM. Die gegebene Kugel ist eine Inkugel dieses Tangentialkegels. Der Kegel schneidet die Ebene z = 0 in einem „Kegelschnitt“, im vorliegenden Fall in der Parabel y ^ 2 = 4 x Die Tangentialebene E der Kugel durch P ist zugleich eine Tangentialebene des Kegels. Daher berührt die Schnittgerade s von E mit z = 0 die in dieser Ebene liegende Schnittparabel. . MfG H.R.Moser,megamath. |
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