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Beitrag |
    
Frank Liebeck (Liebeck)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 15:12: | 
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Hallo,
Brauche die folgende Aufgabe gelößt:
f(x) = x^2 / x^2-4
Es soll eine vollständige Funktionsuntersuchung (mit Quotientenregel) geführt werden.
Also 1.) Definitionsmenge, 2.) Symmetrie, 3.) Polstellen;Senkrechte Asymptoten,
4.) Verhalten für x positiv unendlich und x negativ unendlich, 5.) Nullstellen, 6.) Ableitungen, 7.) Extremstellen, 8.) Wendestellen
Vielen Dank |
ren
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 17:25: |
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Hallo Frank,
1. Definitonsbereich:
Df = IR{- 4 , 4}
2. Symmetrie:
Symmetrisch zur y-Achse, da f(-x) = f(x)
3. Polstellen: x1 = 2 ; x2 = - 2
( x1 = 2 und x2 = - 2 sind Nullstellen des Nenners und f(x) ® +¥ für x ® 2 oder x ® - 2)
Asymptoten: y = 1 (waagrecht);
(Zähler- und Nennerpolynom haben gleichen Grad und der Koeffizient von x² ist jeweils 1)
x = x1 ; x = x2 (senkrecht)
4.Verhalten für |x| ® ¥:
Für x ® +¥ oder x ® - ¥ gilt: f(x) ® 1
5. Nullstelle: x = 0 ; N(0/0)
x² / (x²-4) = 0 Þ x = 0
6. Ableitungen:
f'(x) = [2x(x²-4) - x²*2x] / (x²-4)² (Quotientenregel)
= - 8x / (x² - 4)²
f''(x) =[ - 8 (x²-4)² - (- 8x)*2(x²-4)*2x] / (x²-4)4
= (24x² + 32) / (x²- 4)³
7. Extremstelle: x0 = 0
(Notwendige Bedingung: f'(x0) = 0
- 8x / (x² - 4)² = 0 Þ x = 0
Hinreichende Bedingung: f'(x0) = 0 und f'(x0) ‡ 0
f''(0) = 32 / (- 4)³ = - 1/2 < 0 Þ f (0) = 0 ist lokales Maximum)
8. Wendestellen:
Notwendige Bedingung: f''(x0) = 0
(24x² + 32) / (x² - 4)³ = 0
24x² + 32 = 0
x² = - 4/3
f''(x) hat keine Nullstelle Þ f hat keine Wendestelle.
Gruß |
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