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Frank Liebeck (Liebeck)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 15:12: |
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Hallo, Brauche die folgende Aufgabe gelößt: f(x) = x^2 / x^2-4 Es soll eine vollständige Funktionsuntersuchung (mit Quotientenregel) geführt werden. Also 1.) Definitionsmenge, 2.) Symmetrie, 3.) Polstellen;Senkrechte Asymptoten, 4.) Verhalten für x positiv unendlich und x negativ unendlich, 5.) Nullstellen, 6.) Ableitungen, 7.) Extremstellen, 8.) Wendestellen Vielen Dank |
ren
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 17:25: |
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Hallo Frank, 1. Definitonsbereich: Df = IR{- 4 , 4} 2. Symmetrie: Symmetrisch zur y-Achse, da f(-x) = f(x) 3. Polstellen: x1 = 2 ; x2 = - 2 ( x1 = 2 und x2 = - 2 sind Nullstellen des Nenners und f(x) ® +¥ für x ® 2 oder x ® - 2) Asymptoten: y = 1 (waagrecht); (Zähler- und Nennerpolynom haben gleichen Grad und der Koeffizient von x² ist jeweils 1) x = x1 ; x = x2 (senkrecht) 4.Verhalten für |x| ® ¥: Für x ® +¥ oder x ® - ¥ gilt: f(x) ® 1 5. Nullstelle: x = 0 ; N(0/0) x² / (x²-4) = 0 Þ x = 0 6. Ableitungen: f'(x) = [2x(x²-4) - x²*2x] / (x²-4)² (Quotientenregel) = - 8x / (x² - 4)² f''(x) =[ - 8 (x²-4)² - (- 8x)*2(x²-4)*2x] / (x²-4)4 = (24x² + 32) / (x²- 4)³ 7. Extremstelle: x0 = 0 (Notwendige Bedingung: f'(x0) = 0 - 8x / (x² - 4)² = 0 Þ x = 0 Hinreichende Bedingung: f'(x0) = 0 und f'(x0) 0 f''(0) = 32 / (- 4)³ = - 1/2 < 0 Þ f (0) = 0 ist lokales Maximum) 8. Wendestellen: Notwendige Bedingung: f''(x0) = 0 (24x² + 32) / (x² - 4)³ = 0 24x² + 32 = 0 x² = - 4/3 f''(x) hat keine Nullstelle Þ f hat keine Wendestelle. Gruß |
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