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Symmetrie

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Beweisführung » Symmetrie « Zurück Vor »

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Julia (Cherie)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 14:33:   Beitrag drucken

Suche den Beweis für die Symmetrie bei gebrochen rationalen Funktionen! Möglichst noch heute... EIn Ansatz würde mir ja schon reichen! Müsste sonst 6 Funktionen als Beispiel rechnen um das zu beweisen... Möchte aber das allgemeine!!!!
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Andreas
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Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 23:08:   Beitrag drucken

Hallo Julia!
Wenn eine Funktion symmetrisch bezüglich einer zur y-Achse parallelen Geraden x=a ist, hat sie ein Extremum oder eine Polstelle bei x=a.
Ich hoffe, das hilft Dir weiter, mehr weiß ich leider auch nicht.
Gute Nacht, Andreas
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maier
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Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 13:50:   Beitrag drucken

was andreas gesagt hat, stimmt leider nicht ganz.
gegenbeispiel: f(x)=2.
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Julia (Cherie)
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Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 17:44:   Beitrag drucken

Habe heute noch etwas dazu erfahren...
Allgemein gilt ja für Achsensymmetrie f(x)=f(-x) und für Punktsymmetrie f(x)=-f(-x).
Das Problem was sich dabei stellt (oder eher meinem Lehrer) ist, dass man bei gebrochen rationalen FUnktionen die Symmetrie beim Nenner und Zähler unterscheiden muss! Somit kann es ja vorkommen dass der Nenne beispielsweise Achsensymmetrisch ist und der Zähler punktsymmetrisch... (könnt ihr mir folgen???)
Wir sollen jetzt beweisen, ob und wie sich das auf die gesamte Symmetrie von f(x) auswirkt...
Würde mich ja schon über einen Ansatz freuen...
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Peter
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Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 20:11:   Beitrag drucken

Unterscheide einfach die vier möglichen Fälle:
bei gebrochen-rationalen Funktionen hast du ja jeweils eine ganz rationale Funktion in Zähler und Nenner stehen

f(x)= u(x)/v(x)

1. Fall u (x) gerade, v(x) gerade
es gilt also u(x)=u(-x) und v(x)=v(-x)

Dann ist f(-x)=u(-x)/v(-x)=u(x)/v(x)=f(x); f ist also gerade.

Das gleiche machst du für die anderen 3. Fälle,
es ergibt sich dann f(x) ist gerade, wenn Zähler- und Nennerfunktion die gleiche Symmetrieart besitzen, f ist ungerade wenn beide unterschiedlich symmetrisch sind.

Unter der Voraussetzung, dass f(x) weitest möglich gekürzt ist, gibt es keine anderen Möglichkeiten mehr als diese Fälle.

Gruß

Peter
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Julia (Cherie)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 20:03:   Beitrag drucken

Sorry, bin euch echt dankbar, aber das wusste ich auch schon...
Da muss es eine Regelung geben, wie die Symmetrie ist, wenn es im Zähler eine Punktsymmetrie gibt und im Nenner eine Achsensymmetrie... beides auf einmal? ;o)
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K.
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Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 20:20:   Beitrag drucken

Hallo Julia

du hast recht.

Für die Symmetrie von zusammengesetzten Funktionen gilt:

symmetrie

(hier steht g für gerade (also symmetrisch zur y-Achse) und u für ungerade (punktsymmetrisch))

Mfg K.
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Peter
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 13:56:   Beitrag drucken

Die Zusammensetzungen lassen sich doch genauso nachweisen, wie ich es für ein Beispiel vorgemacht habe, versteh einer die frauen ...

Peter
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Peter
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 14:02:   Beitrag drucken

f(x)= u(x)/v(x)

2. Fall u (x) gerade, v(x) ungerade
es gilt also u(x)=u(-x) und -v(x)=v(-x)

Dann ist f(-x)=u(-x)/v(-x)=u(x)/(-v(x))=-u(x)/v(x)=-f(x); f ist also ungerade.

3. Fall u (x) ungerade, v(x) gerade
es gilt also -u(x)=u(-x) und v(x)=v(-x)

Dann ist f(-x)=u(-x)/v(-x)=-u(x)/v(x)=-f(x); f ist also ungerade.

4. Fall u (x) ungerade, v(x) ungerade
es gilt also -u(x)=u(-x) und -v(x)=v(-x)

Dann ist f(-x)=u(-x)/v(-x)=(-u(x))/(-v(x))=u(x)/v(x)=f(x); f ist also gerade.

Peter
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Peter
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 14:10:   Beitrag drucken

f(x)= u(x)/v(x)

2. Fall u (x) gerade, v(x) ungerade
es gilt also u(x)=u(-x) und -v(x)=v(-x)

Dann ist f(-x)=u(-x)/v(-x)=u(x)/(-v(x))=-u(x)/v(x)=-f(x); f ist also ungerade.

3. Fall u (x) ungerade, v(x) gerade
es gilt also -u(x)=u(-x) und v(x)=v(-x)

Dann ist f(-x)=u(-x)/v(-x)=-u(x)/v(x)=-f(x); f ist also ungerade.

4. Fall u (x) ungerade, v(x) ungerade
es gilt also -u(x)=u(-x) und -v(x)=v(-x)

Dann ist f(-x)=u(-x)/v(-x)=(-u(x))/(-v(x))=u(x)/v(x)=f(x); f ist also gerade.

Peter
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Julia (Cherie)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 20:52:   Beitrag drucken

@Peter: hast ja recht...
HAb den Post wohl zu sehr überflogen... ;o)
Hast mir aber sehr geholfen, danke!
Bis dann, Julia

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