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Probleme mit dem mittelwertsatz

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Moog
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Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 09:51:   Beitrag drucken

ich komme bei einer aufgabe einfach nicht weiter, vielleicht könnt ihr mir helfen:

gegeben ist die funktion

f(x)=arcsin x + 3 arccos x + arcsin ( 2x* wurzel 1-x² ) , -1<x<1

zeigen sie, dass f(x) im intervall ( -1/2* wurzel 2, 1/2* wurzel 2 )konstant ist.
gilt das auch im ganzen definitionsbereich?
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 12:54:   Beitrag drucken

Hi Moog,

Zur Lösung Deiner Aufgabe eignet sich
die Substitution
arc sin x = t , daraus x = sin t
cos t = wurzel (1 - x ^ 2).
Dann ist formal:
A = arcsin x = t
B = 3*arc cos x = 3* ( ½*Pi – t)=3/2 * Pi – 3*t
C = arc sin 2x*wurzel(1-x^2) = arc sin (2*sin t*cost)
= arc sin (sin 2t) = 2t

Man beachte, dass bezüglich C eine Fallunterscheidung
nötig ist.

1.Fall
t liegt zwischen – ¼ Pi und + ¼ Pi,
dann gilt C = 2 * t wie die formale Rechnung zeigte

2.Fall
t > ¼ *Pi,
dann gilt
C = Pi – 2*t

3.Fall
t < - ¼ *pi
dann gilt
C = - Pi – 2 *t

Nun berechnen wir den gesuchten Term T =A+B+C

1.Fall:
T = t + 3/2 * Pi - 3 * t + 2 * t = 3/2 * Pi
°°°°°°°°°°
und das ist die in Deiner Aufgabe gesuchte Konstante,
t HAT SICH WEGGEHOBEN !!

2:Fall
T = t + 3/2 * Pi – 3 * t + Pi –2*t = 5 / 2 * Pi - 4 * t

3:Fall
T = t + 3 / 2* Pi - 3 * t – Pi –2*t = ½ * Pi – 4*t.

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Moog
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Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 22:56:   Beitrag drucken

danke für die hilfe

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