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Julian (joch)
Junior Mitglied
Benutzername: joch
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Januar, 2003 - 14:38: | 
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Hallo leute, ch sitze hier und versuche diese Aufgabe zu lösen nur komme ich nicht aufs Ergebnis, nur ich brauche es unbedingt. Bitte, könnt ihr mir helfen?
DANKE
Weise mit hilfe der Integralrechnung nach:
Das volumen eines Kegelstumpfes mit den beiden Radien R1 und R2, R1<R2, und der Höhe h beträgt
V= 1/3 *pi*h*(R1^2+R1*R2+R2^2) |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 356
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Januar, 2003 - 19:20: |
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Hi,
du läßt die Gerade, die durch die Punkte (0|R2) und (h|R1) geht, zwischen den Grenzen 0 und h um die x-Achse rotieren.
Die Gleichung der Geraden ist
y = (R1 - R2)*x/h + R2 (Steigung m = (R1 - R2)/h, Abschnitt auf der y-Achse ist R2)
V = pi*Int[f²(x)]dx
V = pi*Int[0;h][(R1 - R2)*x/h + R2]²dx
V = pi*[(R1 - R2)*x/h + R2]³/[3*(R1 - R2)][0;h]
Das Integral wurde mit der Substitution z = (R1 - R2)*x/h + R2 gelöst; dz = (R1 - R2)dx/h bzw. dx = dz*h/(R1 - R2)
Die Auswertung (Grenzen einsetzen):
V = (pi*h/(3*(R1 - R2)))*(((R1 - R2)*h/h + R2)³ - R2³)
V = (pi*h/(3*(R1 - R2)))*((R1 - R2 + R2)³ - R2³)
V = (pi*h/(3*(R1 - R2)))*(R1³ - R2³)
nach dem binomischen Lehrsatz
a³ - b³ = (a - b)*(a² + ab + b²)
kann durch (R1 - R2) dividiert werden:
V = (pi*h/3)*(R1² + R1R2 + R2²)
Gr
mYthos
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Julian (jean)
Neues Mitglied
Benutzername: jean
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Januar, 2003 - 22:12: |
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Erstmal vielen dank mythos.
Ich verstehe aber den weg nicht, wie du dein integral gebildet hast, kannst du mir das vielleicht nocheinmal erklären?
Wäre dir dankbar |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 360
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. Januar, 2003 - 00:27: |
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Hi,
das Integral wurde mit einer Substitution gelöst:
z = ((R1 - R2)/h)*x + R2
der Faktor ((R1 - R2)/h) vor dem x ist eine Konstante, R2 ebenso.
Nun z nach x ableiten:
dz/dx = ((R1 - R2)/h), daraus dx in dz ausdrücken, denn nach der Substitution muss alles in z stehen:
dz = ((R1 - R2)/h)*dx
dx = dz/((R1 - R2)/h) = (h/(R1 - R2))*dz
das h kommt wegen der Division durch ((R1 - R2)/h) in den Zähler.
Also wird aus dem Integral [((R1 - R2)/h)*x + R2]²dx gleich
Integral [h/(R1 - R2)]*z²*dz =
Integral [h/(R1 - R2)]*z²*dz, die eckige Klammer kann man als Faktor vor das Integral ziehen .. =
[h/(R1 - R2)] * Integral z²*dz =
[h/(R1 - R2)]*z³/3, so entsteht schließlich
[h/(3(R1 - R2))]*z³, für z wieder ((R1 - R2)/h)*x + R2 einsetzen ->
somit ist
pi*[h/(3(R1 - R2))]*(((R1 - R2)/h)*x + R2)³
in den Grenzen von 0 bis h auszuwerten:
h eingesetzt:
pi*[h/(3(R1 - R2))]*(R1 - R2 + R2)³
0 eingesetzt
pi*[h/(3(R1 - R2))]*(R2)³, subtrahieren ->
pi*[h/(3(R1 - R2))]*(R1³ - R2³], nun noch durch (R1 - R2) dividieren ....
Die Substitution schaut oben wegen der allgemeinen Zahlen nur kompliziert aus, ist es aber nicht! Du kannst sie am besten an einem einfachen Beispiel nachvollziehen:
Int(5x - 17)²dx = ?
5x - 17 = z -> dz/dx = 5 -> dx = dz/5
Das Integral wird zu
Int(z²)*dz/5 = (1/5)*Int(z²)dz = (1/5)*z³/3 =
= (1/15)z³ = (1/15)*(5x - 17)³ + C
Gr
mYthos
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