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Christian
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Oktober, 2001 - 18:12: |
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Wie kann ich nachweisen, dass die Folge an=(1+(1/n))^n gegen den Grenzwert e läuft? Den Ansatz dazu habe ich bereits. Man muss zunächst nachweisen, dass die Folge monoton steigend ist. d.h. (1+1/n)^n < (1+1/(n+1))^(n+1) Der Beweis für diese Ungleichung würde mir eigentlich schon genügen(hoffe ich). |
Cooksen
| Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 23:57: |
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Hallo Christian! Zum Beweis der Monotonie benutzt man die Bernoullische' Ungleichung: Für n > 1, x <> 0 und 1+x > 0 gilt: (1+x)^n > 1 + nx Diese Ungleichung lässt sich leicht durch vollständige Induktion beweisen. Die Folge an ist streng monoton steigend, wenn an/an-1 < 1 ist für n > 1. Dies soll gezeigt werden. an/an-1 = [(n+1)/n]n * [(n-1)/n]n-1 = [(n²-1)/n²]n * [n/(n-1)] = [1 - 1/n²]n * [n/(n-1)] (jetzt Bernoullische' Ungleichung für n > 1) > [1 - 1/n] * [n/(n-1)] = 1 was zu beweisen war. Für die Konvergenz von an kannst Du entweder zeigen, dass die Folge nach oben beschränkt ist oder die Folge bn benutzen mit bn = [1 + 1/n]n+1 . Es gilt an < bn , und bn ist monoton fallend. Beide Folgen konvergieren gegen denselben Grenzwert. Gruß Cooksen |
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