| Autor |
Beitrag |
    
Christian
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Oktober, 2001 - 18:12: | 
|
Wie kann ich nachweisen, dass die Folge an=(1+(1/n))^n gegen den Grenzwert e läuft?
Den Ansatz dazu habe ich bereits. Man muss zunächst nachweisen, dass die Folge monoton steigend ist. d.h.
(1+1/n)^n < (1+1/(n+1))^(n+1)
Der Beweis für diese Ungleichung würde mir eigentlich schon genügen(hoffe ich). |
Cooksen
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 23:57: |
|
Hallo Christian!
Zum Beweis der Monotonie benutzt man die Bernoullische' Ungleichung:
Für n > 1, x <> 0 und 1+x > 0 gilt:
(1+x)^n > 1 + nx
Diese Ungleichung lässt sich leicht durch vollständige Induktion beweisen.
Die Folge an ist streng monoton steigend, wenn an/an-1 < 1 ist für n > 1. Dies soll gezeigt werden.
an/an-1 = [(n+1)/n]n * [(n-1)/n]n-1
= [(n²-1)/n²]n * [n/(n-1)]
= [1 - 1/n²]n * [n/(n-1)]
(jetzt Bernoullische' Ungleichung für n > 1)
> [1 - 1/n] * [n/(n-1)]
= 1
was zu beweisen war.
Für die Konvergenz von an kannst Du entweder zeigen, dass die Folge nach oben beschränkt ist oder die Folge bn benutzen mit
bn = [1 + 1/n]n+1 .
Es gilt an < bn , und bn ist monoton fallend. Beide Folgen konvergieren gegen denselben Grenzwert.
Gruß Cooksen |
|
