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Jessy
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. September, 2001 - 13:39: | 
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Wir sollen die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung an einer Schraubenfeder herleiten (Masse des schwingendden Körpers: m, Richtgröße der Feder: D). Folgende Bedingungen sollen gelten: s(0)=3cm. s'(0)=2m/s
Nach welcher Zeit erfolgt der erste Durchgang durch die Ruhelage?
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei diesem Problem helfen könnte.
Thanks, Jessy. |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. September, 2001 - 14:41: |
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Hallo Jessy!
Für Physikfragen wende dich das nächst mal bitte an das Physikboard.
Eine harmonische Schwingung liegt immer dann vor, wenn die Rückstellkraft FR proportional zur
Auslenkung s ist, also wenn FR ~ s.
Für die Frequenz f gilt:
f = 1/T (T: Umlaufdauer)
Für die Winkelgeschwindigkeit w gilt:
w = 2*pi*f (f: Frequenz)
Herleitung für die Differentialgleichung (DGL) am Federpendel:
[Anm.: Beim Aufstellen der DGL steht links immer die beschleunigende Kraft. Diese wird immer
gleichgesetzt mit der negativen Rückstellkraft FR, da die Rückstellkraft FR immer der Auslenkungsrichtung s
entgegengesetzt ist.]
F = - FR
m*a(t) = - D*s(t)
m*s''(t) + D*s(t) = 0
s''(t) + D/m * s(t) = 0
Lösungsansatz (allgemein): s(t) = s(0)*sin(w*t) ist die Schwingungsgleichung
s'(t) = s(0)*w*cos(w*t) = v(t)
(Anmerkung: Bei dieser Gleichung siehst du, dass s'(0)=s(0)*w=2m/sec ist, siehe Aufgabenstellung. Die Angabe von s'(0) wäre nicht zwingend gewesen. So lässt sich jedoch T sehr schnell berechnen, weiter unten findest du eine weitere, allgemeinere Möglichkeit zur Berechnung von T.)
und zu letzt noch die Gleichung
s''(t) = -s(0)*w2*sin(w*t) = v'(t) = a(t)
Setzt man das nun in die obere Differential-Gleichung ein, so erhält man diese Gleichung:
- m*s(0)*w2*sin(w*t) + D*s(0)*sin(wt) = 0
Diese Gleichung ist nur gleich 0, wenn D=m*w2 ist. Aus dieser Gleichung lässt sich eine Gleichung für die Periodendauer T herleiten:
w2 = D/m
4*pi2*f2 = D/m
f2 = D/(4*pi2*m)
f = 1/(2*pi) * Wurzel aus(D/m)
T = 2*pi * Wurzel aus(m/D) [der Kehrwert]
Die Ruhelage wird zum ersten Mal bei t=T/4 erreicht. Wenn du die Werte einsetzt erhälst du die Lösung.
Gruß Toby |
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