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Hausaufgabe Kontrollieren?

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Vektorrechnung » Hausaufgabe Kontrollieren? « Zurück Vor »

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Jeanine (jeanine)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: jeanine

Nummer des Beitrags: 130
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 06. Dezember, 2002 - 09:34:   Beitrag drucken

Ich musst diese Aufgabe lösen. Habe es jetzt versucht, bin mir aber nicht sicher ob es stimmt. Vielleicht kann es jemand von euch für mich kontrollieren.

Sei f € P3 durch F(f)=g* mit g*(x)=6x²-4x+3 (Für F gilt: F(z*f)=z*F(f))
bestimmt.

Untersuchen Sie, ob die so definierte Menge V2 von Polynomen einen Untervektorraum von P3 bildet, also V2=(f € P3 // F(f)=g*)


Das € Zeichen bedeutet: Element von

Meine Lösung:
Für einen Teilraum gilg:
(1) V2 ist nicht gleich Null
(2)w,u € V2 --> w+u € V2
(3) a € K, w € V2 --> a*w €V2

zu (1):
V2 ist nicht gleich 0, denn z.B. F(f)=g* mit
g*(x)=6x²-4x+3

zu (2):
(w+u)(g*)=6(w²+u²) -4(w+u) +3
=6w² +6u² -4w +4u +3
Erfüllt, das die letzte Gleichung nicht die Form (w+u)hat.

zu(3):
a*w=6a*w² -4aw +3

Die Menge V2 ist kein Untervektorraum von P3.

}






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Ingo (ingo)
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Moderator
Benutzername: ingo

Nummer des Beitrags: 540
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Samstag, den 07. Dezember, 2002 - 02:37:   Beitrag drucken

Bin mir nicht ganz sicher, aber irgendwie fehlt da meiner Meinung nach eine Angabe über F.
Alles was vorausgesetzt wurde ist, daß F(zf)=zF(f) ?
Dann ist nicht einmal sichergestellt, daß es überhaupt ein f mit F(f)=g* gibt.

Nehmen mir mal an, es gäbe ein f mit F(f)=g*, dann ist wegen F(0)=F(z*0)=z*F(0) automatisch F(0)=0 und somit 0ÎV2
(3) ist wegen F(zf)=zF(f)=zg* nicht erfüllt und über (2) können wir eigentlich nichts aussagen, da wir nur eine Eigenschaft von F bzgl. der Multiplikation mit einem Skalar kennen. Wir wissen aber nicht, wie sich die Funktion bei der Addition zweier verschiedener Polynome verhält.

Beispiel: Sei F so definiert, daß
F(xk)=k(6x²-4x+3)
F(f)=0 für f(x)¹xk

Dann ist 0=F(x+1)¹F(x)+F(1)=2(6x²-4x+3)

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