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Textaufgabe

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Folgen und Reihen » Textaufgabe « Zurück Vor »

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Maria Lena (mariamagdalena)
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Neues Mitglied
Benutzername: mariamagdalena

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2002
Veröffentlicht am Montag, den 18. November, 2002 - 11:40:   Beitrag drucken

Gib in den folgendenTextaufgaben die entsprechende Reihe in Sigma-Schreibweise an, finde die geeignete Summationsformel und rechne schließlch die gesuchte Patialsumme konkret aus.
a) Die bekannten Welt-Erdgas-Reserven betragen 5*10(hoch13)m³.Der jährliche weltweite Verbrauch betrage 2.3*10(hoch12)m³.Wie lange reichen die Vorräte unter der Annahme eines konstanten jährlichen Verbrauchszuwachs von 4%? -Von welchem Typ ist die verwendete Reihe?
b)Stadtplaner in Brazilien konzipierten eine Ortschaft, deren Straßen in 10 konzentrischen Kreisen um einen Marktplatz angelegt wurden. Der innerste Ring enthält 13 Häuser, jeder weitere Ring enthält 11 Häuser mehr als der vorherige. Wieviel Häuser hat die Ortschaft insgesamt? - Von welchem Typ ist die verwendete Reihe?
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mythos2002 (mythos2002)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002

Nummer des Beitrags: 235
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. November, 2002 - 00:08:   Beitrag drucken

Hi,

a)Bei einem jährlichen Verbrauchszuwachs von 4% ist (wie bei einer Zinseszinsrechnung) der jährliche Verbrauch von einem Jahr bis zum nächsten immer mit 1,04 zu multiplizieren:

v .. Anfangsverbrauch
q = (v + 0,04*v)/v = 1,04

q ist der Aufzinsungsfaktor, er gibt das Verhältnis (Quotient) eines Wertes zu einem bestimmten Zeitpunkt zu dem des Vorjahres an.

v1 = v
v2 = v*q
v3 = v*q²
..
v_n = v*q^(n-1)

Die < v_n > = < v1, v2, v3, .., vn > = < v, v*q, v*q², .., v*q^(n-1) > bilden eine endliche geometrische Folge, deren Summe

s_n = v + v*q + v*q² + ... + v*q^(n-1) ist eine endliche geometrische Reihe

Es gilt die Summenformel:
s_n = v*[q^(n-1) - 1]/(q - 1)

Da die Reihe um ein Glied mehr enthält, als es Verbrauchsjahre gibt, ist die Summe von (n+1) Gliedern anzusetzen:

5*10^13 = 2,3*10^12*[1,04^(n) - 1)]/0,04
aus dieser Exponentialgleichung ist n zu berechnen:
(Division durch 10^12, dann durch 2,3 und Mult. mit 0,04)

50*0,04/2,3 = 1,04^n - 1
1,04^n = 1,869 | logarithmieren
n*ln1,04 = ln 1,869
n = (ln 1,869)/(ln 1,04) = 15,95

Die Reserven reichen ca. 16 Jahre. Was machen wir dann nacher?

b)

Eine Reihe, deren Glieder immer um einen bestimmten Wert (d = Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder ist konstant) zu- oder abnehmen, heisst arithmetische Reihe. Eine solche liegt bei der Ortschaft vor.

Die Anzahl der Glieder ist die der Kreise, n = 10; die Summe s10 aller Häuser ist

s10 = 13 + 24 + 35 + ..... + (13 + 9*11)

Die Summenformel der endlichen arithm. Reihe ist für s_n = a1 + a2 + .. + a_n:

s_n = (a1 + a_n)*(n/2), mit a_n = a1 + (n - 1)*d

hier ist d = 11, n = 10, a10 = 13 + 9*11 = 112 und somit

s10 = (13 + 112)*5 = 625

Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002

Nummer des Beitrags: 236
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. November, 2002 - 00:28:   Beitrag drucken

Ach ja,

die arithmetische Reihe wird als Summe mit

s_n = Sigma(i = 1 bis n)[a1 + (i-1)*d]

und die geometrische Reihe mit

s_n = Sigma (i = 1 bis n)[a1*q^(i-1)]

angeschrieben. i ist der Zähl-Index und wird durch das jeweils aktuelle n ersetzt!

Gr
mYthos

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