| Autor |
Beitrag |
    
missi (missi)
Mitglied
Benutzername: missi
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 08:57: | 
|
geg.:Quadrat mit Seitenlänge a1
Die Mittelpunkte der Seiten verbunden ergeben ein neues Quadrat mit der Seitenlänge a2.
Der Vorgang wird fortgesetzt
ges.: Wie lang ist die n-te Seitenlänge?
Mein Lehrer hat da
an=a1*(1/Wurzel(2))hoch(n-1)
raus, aber ich weiß nicht, wie er darauf kommt. Kann mir bitte jemand weiterhelfen? |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 118
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 10:01: |
|
Hallo
Die Seitenlänge des 2.Quadrats ergibt sich so:
(0,5a1)2 + (0,5a1)2 = a22
a2 = Wurzel(1/2) * a1
oder:
a2 = a1 * 1/Wurzel(2)
entsprechend:
a32 = (a2/2)2 + (a2/2)2
a2 eingesetzt:
a32 = (0,5 * Wurzel(1/2) * a12 + (0,5 * Wurzel(1/2) * a12
a32 = 1/8 * a12 + 1/8 * a12
a32 = 1/4 * a12
a3 = 1/2 * a1
oder:
a3 = a1 * 1/Wurzel(4)
Nun erkennst du, dass der Faktor a1 immer da ist. Du musst also nur das Zahlenwerk untersuchen und prüfen, wie sich die Zahlen verändern.
beim 2. Quadrat:
1 / Wurzel(2)
beim 3.Quadrat:
1 / Wurzel(4)
2 = 22-1 = 21
4 = 23-1 = 22
Nun ist der Groschen gefallen, oder?
das unter der Wurzel ist immer 2n-1
also: die n-te Seitenlänge hat die Form
a1 * 1 / Wurzel(2n-1)
MfG Klaus |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 636
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 10:08: |
|
die neue Seitenlänge, an+1 ist die Hypothnuse eines des gleichsch.re.wi. 3ecks
mit
den Katheten an/2
also
ist an+1=Wurzel(2)*(an/2),
gibt,
nach Kürzen durch Wurzel(2)
also
an+1=an/ Wurzel(2),
d.h.
bei der nächsten und jeder weiteren Wiederholung
des
Einschreibens eines neuen Quadrates
ver-
kürzt sich die Seitenlänge um den Faktor Wurzel(2).
für
für a2 ist das das 1te mal, also Wurzel(2)1,
für a3 ist das das 2te mal, also Wurzel(2)2,
..
für an ist das das (n-1)te mal, also Wurzel(2)n-1,
also
an = a1 / Wurzel(2)n-1
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung widerspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[aus dem Vorwort zu Georg Pólyas Buch "Mathematik und Plausibles Schliessen, Band 1 Induktion und Analogie in der Mathematik]
|
|
