| Autor |
Beitrag |
    
Pascal Rolli (Prolli)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. August, 2001 - 21:01: | 
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Welches ist grösser:
ePi oder Pie
Bitte mathematisch herleiten, nicht einfach mit Taschenrechner berechnen ! |
Xell
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. August, 2001 - 23:39: |
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Annahme: ep > pe
Beweis:
e^pi > pi^e
<=> pi * ln(e) > e * ln(pi)
<=> pi/e > ln(e * pi/e) = ln(e) * ln(pi/e)
<=> pi/e > ln(pi/e)
Noch zu zeigen:
f(x) := x - ln(x) > 0 auf I_f := ]0,inf[
x - ln(x) > 0 <=> x > ln(x)
<=> e^x > x <=> e^x - x = 0
lim [x->0] e^x - x = 1 > 0
Da f(x) := x - ln(x) = e^x - x
=> f'(x) = e^x - 1
f'(x) > 0 <=> e^x > 1
lim [x->0] e^x = 1
Jedes e^x aus I_f besitzt die Darstellung
e^(0+x) = e^0 * e^x ; x > 0
e^0 * e^x > 1 <=> e^x > 1
=> f'(x) > 0 für alle x aus I_f
=> f ist streng monoton wachsend auf I_f
Aus lim [x->0] f(x) = 1 > 0 und f(x+a) > f(x); a > 0
=> f(x) > 0 für alle x aus I_f
<=> e^pi > pi^e
qed.
lg, Xell
P.S.: e^pi ~ 23,14 und pi^e ~ 22,46 |
Markus
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. August, 2001 - 09:42: |
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Hallo Xell, die "Gleichheit"
ln(e * pi/e) = ln(e) * ln(pi/e)
will mir nicht einleuchten.
Bei mir gilt
ln(e * pi/e) = ln(e) + ln(pi/e)
Kennst du dich vielleicht in Stochastik aus?
->
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/18510.html |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. August, 2001 - 11:04: |
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Hi Markus und Pascal,
Du hast Recht, da hat sich wohl ein Tippfehler eingeschlichen.
Der Beweis dürfte aber dennoch zu reparieren sein:
Annahme: ep > pe
Beweis:
e^pi > pi^e
<=> pi * ln(e) > e * ln(pi)
<=> pi/e > ln(e * pi/e) = 1 + ln(pi/e)
<=> pi/e - 1 - ln(pi/e) > 0
Zu zeigen:
f(x) := x - ln(x) - 1 > 0 für alle x aus ]0;inf[
Nun ist f'(x) = 1 - 1/x < 0
<=> 1 - 1/x < 0 <=> 1 < 1/x <=> x < 1
f ist also streng monoton fallend auf ]0;1[ und streng
monoton wachsend auf ]1;inf[. Daher besitzt f bei (1/0)
ein Minimum, das auch die einzige Nst. darstellt.
Darher gilt f(x) > 0 für alle x aus R+\{1}
Da pi <> e, ist hier x <> 1 und somit
f(x) > 0, also: pi/e - 1 > ln(pi/e)
Daher auch e^pi > pi^e
qed.
lg, Michael |
Pascal Rolli (Prolli)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 12:12: |
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Hallo Xell.
Danke für den Beweis. Leider ist er für mich nicht ganz nachvollziehbar (Logarithmen noch nicht behandelt...). |
Pascal Rolli (Prolli)
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. August, 2001 - 11:18: |
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Habe mich soeben etwa eine halbe Stunde mit Loarithmen "herumgeschlagen", jetzt scheint mir dein Beweis relativ verständlich ! |
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