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Pascal Rolli (Prolli)
| Veröffentlicht am Freitag, den 17. August, 2001 - 21:01: |
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Welches ist grösser: ePi oder Pie Bitte mathematisch herleiten, nicht einfach mit Taschenrechner berechnen ! |
Xell
| Veröffentlicht am Freitag, den 17. August, 2001 - 23:39: |
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Annahme: ep > pe Beweis: e^pi > pi^e <=> pi * ln(e) > e * ln(pi) <=> pi/e > ln(e * pi/e) = ln(e) * ln(pi/e) <=> pi/e > ln(pi/e) Noch zu zeigen: f(x) := x - ln(x) > 0 auf I_f := ]0,inf[ x - ln(x) > 0 <=> x > ln(x) <=> e^x > x <=> e^x - x = 0 lim [x->0] e^x - x = 1 > 0 Da f(x) := x - ln(x) = e^x - x => f'(x) = e^x - 1 f'(x) > 0 <=> e^x > 1 lim [x->0] e^x = 1 Jedes e^x aus I_f besitzt die Darstellung e^(0+x) = e^0 * e^x ; x > 0 e^0 * e^x > 1 <=> e^x > 1 => f'(x) > 0 für alle x aus I_f => f ist streng monoton wachsend auf I_f Aus lim [x->0] f(x) = 1 > 0 und f(x+a) > f(x); a > 0 => f(x) > 0 für alle x aus I_f <=> e^pi > pi^e qed. lg, Xell P.S.: e^pi ~ 23,14 und pi^e ~ 22,46 |
Markus
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. August, 2001 - 09:42: |
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Hallo Xell, die "Gleichheit" ln(e * pi/e) = ln(e) * ln(pi/e) will mir nicht einleuchten. Bei mir gilt ln(e * pi/e) = ln(e) + ln(pi/e) Kennst du dich vielleicht in Stochastik aus? -> http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/18510.html |
Xell
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. August, 2001 - 11:04: |
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Hi Markus und Pascal, Du hast Recht, da hat sich wohl ein Tippfehler eingeschlichen. Der Beweis dürfte aber dennoch zu reparieren sein: Annahme: ep > pe Beweis: e^pi > pi^e <=> pi * ln(e) > e * ln(pi) <=> pi/e > ln(e * pi/e) = 1 + ln(pi/e) <=> pi/e - 1 - ln(pi/e) > 0 Zu zeigen: f(x) := x - ln(x) - 1 > 0 für alle x aus ]0;inf[ Nun ist f'(x) = 1 - 1/x < 0 <=> 1 - 1/x < 0 <=> 1 < 1/x <=> x < 1 f ist also streng monoton fallend auf ]0;1[ und streng monoton wachsend auf ]1;inf[. Daher besitzt f bei (1/0) ein Minimum, das auch die einzige Nst. darstellt. Darher gilt f(x) > 0 für alle x aus R+\{1} Da pi <> e, ist hier x <> 1 und somit f(x) > 0, also: pi/e - 1 > ln(pi/e) Daher auch e^pi > pi^e qed. lg, Michael |
Pascal Rolli (Prolli)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 12:12: |
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Hallo Xell. Danke für den Beweis. Leider ist er für mich nicht ganz nachvollziehbar (Logarithmen noch nicht behandelt...). |
Pascal Rolli (Prolli)
| Veröffentlicht am Montag, den 20. August, 2001 - 11:18: |
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Habe mich soeben etwa eine halbe Stunde mit Loarithmen "herumgeschlagen", jetzt scheint mir dein Beweis relativ verständlich ! |
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