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Dreieck

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Verena Holste (Verenchen)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Mai, 2001 - 14:44:   Beitrag drucken

Hy!
Ich hab eine ganz große Bitte an euch alle, ist echt wichtig!
Ich muss die Bedingungen für einen Schnittpunkt von einer Gerade und einem Dreieck im R³ beweisen. Die Bedingung ist, dass eine Geradengleichung dieses Punktes durch die Werte des Dreiecks gegeben ist und die Parameter darin zusammen nicht größer als 1 sein dürfen, sonst liegt der Punkt außerhalb des Dreiecks. Die Gleichung wird durch den Ortsvektor eines Eckpunktes des Dreiecks gegeben, die Richtungsvektoren durch die jeweilige Differenz der Ortsvektoren der anderen Eckpunkte.
Ich weiß, dass man das mit dem Strahlensatz beweisen kann und ich zwei Fälle unterscheiden muss: 1. der Punkt liegt auf der Seite , oder 2. er liegt im Dreieck.

Wär euch für Hilfe sehr dankbar!
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J
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Mai, 2001 - 16:37:   Beitrag drucken

Ich hab noch nicht durchschaut, wie ich hier eine Zeichnung in die Antwort bekomme. Also versuch ichs mal mit Worten:
Zeichne bitte ein Dreicke ABC. Das Dreieck wird durch die Vektoren Va und Vb aufgespannt. Dabei soll Va der Vektor von A nach B sein und Vb der Vektor von A nach C.

Durch das Dreieck ist eine Ebene festgelegt, und wenn du den Schnittpunkt S irgendeiner geraden mit dieser Ebene berechnet hast, so kannst du Zahlen x und y angeben, so dass gilt:
Vektor OS = Vektor OA +x*Va + y*Vb.
Offensichtlich liegt S nicht im Dreieck ABC, falls x oder y kleiner sind als 0. Dasselbe gilt, wenn x oder y größer sind als 1.
Für die folgenden Überlegungen setzen wir voraus, dasss 0 <= x <=1 und 0<= y<=1 gilt. Dabei soll <= bedeuten: 'kleiner oder gleich'.
Wenn nun x oder y gleich 0 sind, so liegt S auf der Seite AB bzw auf der Seite AC.
Wir überlegen, was für x und y gelten muss, damit S auf der Seite BC liegt.
Zeichne bitte irgendeinen Punkt S auf der Seite BC ein!
Zeichne nun durch S eine Parallele zur Seite AC. Den Schnittpunkt dieser Parallelen mit der seite AB nenne ich P
Es ist nun (pfadregel) Vektor AP = x* VA und Vektor PS = y*Vb

Jetzt kommt der zweite Strahlensatz ins Spiel:
ich bezeichne die Länge des Vektors Va mit a und die Länge des Vektors Vb mit b.
Nach dem 2. Strahlensatz gilt:
(y*b) /b = ((1-x)*a)/a
<==> y=1-x
<==x+y=1

Sei nun x+y <1. Dann gibt es eine positive Zahl z mit x+y+z = 1
Der Punkt S', der zu Vektor OA + x*Va+(y+z)*Vb gehört, liegt auf der Seite BC.
Da y< y+z ist, liegt S in dieem FAll auf der Strecke PS.

Gruß J
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Verena Holste (Verenchen)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Mai, 2001 - 12:41:   Beitrag drucken

Danke, du bist ein Schatz!

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