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Beitrag |
    
Jezz (jezz)
Mitglied
Benutzername: jezz
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. November, 2002 - 15:43: | 
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Kann mir vielleicht noch jemand hierbei helfen?
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Ungleichung für alle natürlichen Zahlen n gelten!
a) 1+ 1/2² + 1/3² + ... + 1/n² <= 2 – 1/n
b) 2^n >= n²-1
Und weiß jemand, woran es liegt, dass ich die ganze Zeit die Fehlermeldungen "Internal Server Error" od. "Die Seite kann nicht angezeigt werden" od. "Database connect error" bekomme? |
Klaus Dannetschek (klausrudolf)
Mitglied
Benutzername: klausrudolf
Nummer des Beitrags: 46
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. November, 2002 - 16:17: |
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a) ist stures ausrechnen: n=1 --> 2 = 2
n --> n+1 : Su(1 bis n+1) = 1/(n+1)**2 + Su(1 bis n) <= 1/(n+1)*+2 + 2 - 1/n <= 2 - 1/(n+1)
<= Ind.annahme <= Beh.
Konzentriertes rechnen führt schliesslich zu der korrekten Aussage n <= n+1 q.e.d.
b) nicht minder : mit denselben Ansatz wie oben kommst Du auf eine Ungleichung n*n+2 >= 2n. Kannst Du entweder glauben, oder nochmal vollst. Induktion anwenden, dann lautet die Beh. 2n - 1 >= 0 q.e.d.
Gruß |
Jezz (jezz)
Neues Mitglied
Benutzername: jezz
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. November, 2002 - 07:36: |
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Können Sie das (und die Antwort zum anderen Posting) bitte noch einmal genauer und ausführlicher erklären? Ich verstehe das leider so nicht..  |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 525
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. November, 2002 - 18:11: |
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a)
Induktionsverankerung: n=1
1 £ 2-(1/1) ist sicher richtig
Induktionsannahme: Die Formel sei für ein festgelegtes n bewiesen.
Induktionsschluß:
a) 1+ 1/2² + 1/3² + ... + 1/(n+1)²
= (1+ 1/2² + 1/3² + ... + 1/n²) + 1/(n+1)²
£ 2 - 1/n + 1/(1+n)
= 2 -(n+1)/(n(n+1)) + n/(n(n+1))
= 2 -((n+1)-n)/(n(1+n))
= 2 - 1/(n(n+1))
£ 2 - 1/(n+1)²
b)
Induktionsverankerung: n=2
22³4-1 ist sicher richtig
Induktionsannahme: Die Formel sei für ein festgelegtes n bewiesen.
Induktionsschluß:
2n+1 = 2*2n ³ 2*(n²-1) = 2n²-2 = (n+1)²-1+n²-2n-2 = (n+1)²-1+(n-1)²-3 ³ (n+1)²-1
Da aber auch 21=2>0 ist die Aussage für alle n bewiesen.
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