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Peg
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. März, 2001 - 15:59: | 
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Versteht das einer???
a) Leite mit Hilfe der Integralrechnung eine Formel her zur Berechnung des Rauminhaltes einer Kugelkappe der Höhe h bei einer Kugel mit dem radius r.
b) Zeige mit Hilfe des Ergebnisses in a), dass für den rauminhalt eines Kugelquerschnitts der Höhe h gilt : V=2/3 *PIE*r²*h |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. April, 2001 - 11:52: |
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Hi Peg ,
Zuerst ein paar Vorbemerkungen
1.
Andere gebräuchlichere Namen für "Kugelkappe"
sind "Kugelsegment" , "Kugelkalotte" oder "Kugelhaube".
2.
Das Volumen V einer Kugelhaube habe ich früher mit
elementaren Methoden hergeleitet .
Du findest die entsprechenden Ausführungen im Archiv
unter dem Stichwort "Haube".
Dazu gibt es zwei Artikel.; denjenigen über die "Motorhaube"
kannst Du ignorieren
3.
Im folgenden leite ich die Volumenformel mit Integralrechnung
her; der Kugelradius ist mit R, statt mit r bezeichnet
A]
Disposition und Bezeichnungen
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem liegt ein Kreis k
mit Mittelpunkt M und Radius R.
Der Kreis berührt die y-Achse im Nullpunkt O und schneidet die
x -Achse ein zweites Mal im Punkt E.
Koordinaten der Punkte: M(R / 0 ), E( 2R / 0 )
Gleichung des Kreises:
( x - R) ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2 oder vereinfacht:
y ^ 2 = 2 R x - x ^ 2
Im Punkt F ( h / 0 ) auf der x-Achse mit 0 < h < R legen wir eine
zur y-Achse parallele Kreissehne A B.
Das Dreieck OAE ist nach Thales bei A rechtwinklig;
davon werden wir später Gebrauch machen
Wenn wir den Kreis um die x-Achse rotieren lassen,
beschreibt er eine Kugel vom Radios R und Mittelpunkt M
Das Kreissegment AFBO als Fläche beschreibt bei der
Rotation eine Kugelkappe ( Haube) mit der Höhe h und dem
Grundkreisradius AF = r.
B]Berechnung des Volumen V der Kappe
Mit einer bekannten Formel aus der Integralrechnung kommt:
V = Pi* int [ y^2 ] * dx = Pi * int [ 2 R x - x ^ 2 ] * dx ,
untere Grenze null, obere Grenze h.
Eine kurze Rechnung ergibt als Schlussresultat der Teilaufgabe a):
V = Pi * h ^ 2 / 3 * { 3 * R - h }
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. April, 2001 - 12:53: |
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Hi Peg,
wir wollen die im vorhergehenden Abschnitt
gezeichnete Figur weiter nutzen:
der Kreissektor MAOB erzeugt bei der Rotation
um die x -Achse einen Kugelsektor
( nicht "Kugelquerschnitt" !) , dessen Volumen S
sich aus dem Volumen V der Haube und einem
Kegelvolumen K additiv zusammensetzt:
S = V + K.
Es gilt nun , S zu berechnen
Im Laufe der Rechnung benötigen wir eine Beziehung,
zwischen dem Radius r = AF der Haube, welcher
gleichzeitig der Grundkreisradius des Kegels mit der
Höhe R-h ist , dem Kugelradius R und der Höhe h
der Haube.
Diese Beziehung entnehmen wir dem Höhensatz im
bereits früher erwähnten rechtwinkligen Dreieck OAE;
sie lautet:
r ^ 2 = h* (2 R - h )
Dem letzten Abschnitt entnehmen wir V:
V = 1/3 Pi h^2 ( 3 * R - h ), ferner:
K = 1/3 Pi * r^2 (R - h) = 1/3 Pi h * ( 2R - h )* ( R - h )
Durch Addition entsteht nach Vereinfachung:
S = 2 / 3 * Pi * R ^ 2 * h .
Um die Aufgabe b) gänzlich zu lösen, benötigen wir noch
die Haubenfläche F, welche einen Teil der Kugelfläche ausmacht.
Sie wird bei der Rotation des Kreisbogens AOB erzeugt.
Eine Formel für F ist seit dem Altertum (Archimedes) bekannt
und lautet: F = 2* Pi * R * h;
daher können wir offenbar den Kugelsektor S ,
und das ist kein Aprilscherz , wie ein Kegelvolumen berechnen:
Grundfläche mal Höhe durch drei (Höhe = Radius R) , also:
S = 1 / 3 * F * R , q.e.d.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. April, 2001 - 14:28: |
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Hi Peg ,
Da Dreifachintegrale gerade en vogue sind, wollen wir das
Kugelsektorvolumen S , mit Hilfe eines solchen Integrals
berechnen.
Wir führen Polarkoordinaten des Raumes ein.
Sei für P(x/y/z)
x = r * sin v * cos u
y = r * sin v * sin u
z = r * cos v
Das Volumenelement dV schreibt sich so:
d V = r ^ 2 * sin v * dr * dv * du
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Grenzen :
Für r: 0 bis R ( R :Kugelradius )
Für u: 0 bis 2*Pi
Für v: 0 bis vo
( vo ist der Winkel A M F in unserer Figur von früher )
Die Berechnung ergibt mit Mapleoder von Hand :
S = 2/3 * Pi * R^3 (1 - cos (vo));
Nun gilt aber aber : R - R * cos (vo) = h , also
S = 2 /3 * Pi * R^2 * h ,wie früher.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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