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Peg
| Veröffentlicht am Samstag, den 31. März, 2001 - 15:59: |
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Versteht das einer??? a) Leite mit Hilfe der Integralrechnung eine Formel her zur Berechnung des Rauminhaltes einer Kugelkappe der Höhe h bei einer Kugel mit dem radius r. b) Zeige mit Hilfe des Ergebnisses in a), dass für den rauminhalt eines Kugelquerschnitts der Höhe h gilt : V=2/3 *PIE*r²*h |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 01. April, 2001 - 11:52: |
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Hi Peg , Zuerst ein paar Vorbemerkungen 1. Andere gebräuchlichere Namen für "Kugelkappe" sind "Kugelsegment" , "Kugelkalotte" oder "Kugelhaube". 2. Das Volumen V einer Kugelhaube habe ich früher mit elementaren Methoden hergeleitet . Du findest die entsprechenden Ausführungen im Archiv unter dem Stichwort "Haube". Dazu gibt es zwei Artikel.; denjenigen über die "Motorhaube" kannst Du ignorieren 3. Im folgenden leite ich die Volumenformel mit Integralrechnung her; der Kugelradius ist mit R, statt mit r bezeichnet A] Disposition und Bezeichnungen In einem rechtwinkligen Koordinatensystem liegt ein Kreis k mit Mittelpunkt M und Radius R. Der Kreis berührt die y-Achse im Nullpunkt O und schneidet die x -Achse ein zweites Mal im Punkt E. Koordinaten der Punkte: M(R / 0 ), E( 2R / 0 ) Gleichung des Kreises: ( x - R) ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2 oder vereinfacht: y ^ 2 = 2 R x - x ^ 2 Im Punkt F ( h / 0 ) auf der x-Achse mit 0 < h < R legen wir eine zur y-Achse parallele Kreissehne A B. Das Dreieck OAE ist nach Thales bei A rechtwinklig; davon werden wir später Gebrauch machen Wenn wir den Kreis um die x-Achse rotieren lassen, beschreibt er eine Kugel vom Radios R und Mittelpunkt M Das Kreissegment AFBO als Fläche beschreibt bei der Rotation eine Kugelkappe ( Haube) mit der Höhe h und dem Grundkreisradius AF = r. B]Berechnung des Volumen V der Kappe Mit einer bekannten Formel aus der Integralrechnung kommt: V = Pi* int [ y^2 ] * dx = Pi * int [ 2 R x - x ^ 2 ] * dx , untere Grenze null, obere Grenze h. Eine kurze Rechnung ergibt als Schlussresultat der Teilaufgabe a): V = Pi * h ^ 2 / 3 * { 3 * R - h } Fortsetzung folgt Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 01. April, 2001 - 12:53: |
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Hi Peg, wir wollen die im vorhergehenden Abschnitt gezeichnete Figur weiter nutzen: der Kreissektor MAOB erzeugt bei der Rotation um die x -Achse einen Kugelsektor ( nicht "Kugelquerschnitt" !) , dessen Volumen S sich aus dem Volumen V der Haube und einem Kegelvolumen K additiv zusammensetzt: S = V + K. Es gilt nun , S zu berechnen Im Laufe der Rechnung benötigen wir eine Beziehung, zwischen dem Radius r = AF der Haube, welcher gleichzeitig der Grundkreisradius des Kegels mit der Höhe R-h ist , dem Kugelradius R und der Höhe h der Haube. Diese Beziehung entnehmen wir dem Höhensatz im bereits früher erwähnten rechtwinkligen Dreieck OAE; sie lautet: r ^ 2 = h* (2 R - h ) Dem letzten Abschnitt entnehmen wir V: V = 1/3 Pi h^2 ( 3 * R - h ), ferner: K = 1/3 Pi * r^2 (R - h) = 1/3 Pi h * ( 2R - h )* ( R - h ) Durch Addition entsteht nach Vereinfachung: S = 2 / 3 * Pi * R ^ 2 * h . Um die Aufgabe b) gänzlich zu lösen, benötigen wir noch die Haubenfläche F, welche einen Teil der Kugelfläche ausmacht. Sie wird bei der Rotation des Kreisbogens AOB erzeugt. Eine Formel für F ist seit dem Altertum (Archimedes) bekannt und lautet: F = 2* Pi * R * h; daher können wir offenbar den Kugelsektor S , und das ist kein Aprilscherz , wie ein Kegelvolumen berechnen: Grundfläche mal Höhe durch drei (Höhe = Radius R) , also: S = 1 / 3 * F * R , q.e.d. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 01. April, 2001 - 14:28: |
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Hi Peg , Da Dreifachintegrale gerade en vogue sind, wollen wir das Kugelsektorvolumen S , mit Hilfe eines solchen Integrals berechnen. Wir führen Polarkoordinaten des Raumes ein. Sei für P(x/y/z) x = r * sin v * cos u y = r * sin v * sin u z = r * cos v Das Volumenelement dV schreibt sich so: d V = r ^ 2 * sin v * dr * dv * du °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Grenzen : Für r: 0 bis R ( R :Kugelradius ) Für u: 0 bis 2*Pi Für v: 0 bis vo ( vo ist der Winkel A M F in unserer Figur von früher ) Die Berechnung ergibt mit Mapleoder von Hand : S = 2/3 * Pi * R^3 (1 - cos (vo)); Nun gilt aber aber : R - R * cos (vo) = h , also S = 2 /3 * Pi * R^2 * h ,wie früher. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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