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Lösungsansatz richtig?

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Komplexe Zahlen » Lösungsansatz richtig? « Zurück Vor »

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NKasang (electric)
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Neues Mitglied
Benutzername: electric

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 30. September, 2002 - 16:23:   Beitrag drucken

Hallo,

ich habe hier eine Übungsklausur vorliegen und verstehe so ziemlich alles. Nur bei einer eigentlich leichten Aufgabe bin ich ein wenig verwirrt. Also folgendes:

Berechne (3-4i)^n n=1,2,3,4,10,k

Mein Lösungsansatz wäre folgender:

für
n=1 3 - 4i
n=2 9 + 16i^2 = 9 - 16i
n=3 27 - 64i^3 = 27 - 64i
n=4 81 + 256i^4 = 81 - 256i
Ist das richtig oder bin ich da irgendwie auf dem Holzweg, was ich für wahrscheinlich halte...

Wäre schön, wenn jmd. weiterhelfen kann.

Vielen Dank!

(Beitrag nachträglich am 30., September. 2002 von Electric editiert)
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clara
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 30. September, 2002 - 16:57:   Beitrag drucken

Hi,
ich kann Deine Ergebnisse nicht bestätigen. Bei mir ist z.B.
(3-4i)^2 = -7-24i
(3-4i)^3 = -117-44i.
Ich weiß nicht, wie Du auf Deine Ergebnisse gekommen bist.

gruß clara
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Christian Schmidt (christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 514
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 30. September, 2002 - 16:59:   Beitrag drucken

Hi NKasang

Das ist tatsächlich alles falsch bis auf n=1.
Bei n=2 musst du beispielsweise die 2.binomische Formel anwenden.
(3-4i)^2=(3-4i)(3-4i)=9-24i-16=-7-24i

Bei n=3 und n=4 kannst du das dann entweder mit dem pascalschen Dreieck machen oder halt einfach alles ausschreiben.

Ergebnisse:
n=3:
-117-44i

n=4:
-527+336i

n=10:
-9653287-1476984i

MfG
C. Schmidt
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Christian Schmidt (christian_s)
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Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 515
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 30. September, 2002 - 17:01:   Beitrag drucken

Hi clara

Das Problem war, dass NKasang einfach nur die einzelnen Summanden potenziert hat.
D.h.
(3-4i)^n=3^n+(-4i)^n
Was natürlich falsch ist...

MfG
C. schmidt
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NKasang (electric)
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Neues Mitglied
Benutzername: electric

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 30. September, 2002 - 17:35:   Beitrag drucken

Hallo,

vielen Dank für die INfos!
Binomische Formel ist klar. Da muss ich mich ja eigentlich für entschuldigen das nicht so gemacht zu haben. :-)
ab n=3 habe ich dann aber meine Probleme die Ergebnisse nachzuvollziehen. Das liegt wohl daran, dass diese Klausur aus einem anderen Jahr stammt und wir noch keine dieser Aufgaben gerechnet haben. Daher wäre es klasse, wenn ihr mir einmal einen Lösungsweg mit n=3 und n=4 o.ä. präsentieren könntet, und zwar lieber ausgeschrieben als mit diesem pascalschen Dreieck wovon ich noch nie etwas gehört habe.

Vielen Dank
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Christian Schmidt (christian_s)
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Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 520
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 30. September, 2002 - 17:40:   Beitrag drucken

Hi Nkasang

Also ausgeschrieben...
Du musst einfach alle Summanden einzeln miteinander multiplizieren(ich weiss, keine gute Formulierung...)
(3-4i)^3
=(3-4i)(3-4i)(3-4i)
=(-7-24i)(3-4i)
=-21+28i-72i-96
=-117-44i

Bei den anderen genauso. Ist eigentlich nur Rechenarbeit.

MfG
C. Schmidt
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Christian Schmidt (christian_s)
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Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 521
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 30. September, 2002 - 17:42:   Beitrag drucken

Also mit dem einzeln miteinander multiplizieren meinte ich folgendes:
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

MfG
C. Schmidt
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NKasang (electric)
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Benutzername: electric

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 30. September, 2002 - 18:04:   Beitrag drucken

Ja, so habe ich das vor meiner letzten Frage auch versucht aber bin zu einem anderen Ergebnis gekommen:

(3-4i)^3
= (3-4i)(3-4i)(3-4i)
= (3*3 + 3*(-4i) - 4i*3 + 16i^2) (3-4i)
= (9 - 24i - 16i) (3-4i)
= (9 - 40i) (3-4i)

usw...

mir will nicht in den Kopf, wie du auf die -7 kommst...

Danke für die Zeit, die du dir nimmst!
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clara
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 30. September, 2002 - 18:32:   Beitrag drucken

Hi,
Dein Fehler ist folgender:
16i^2 ist nicht -16i sondern -16, weil i^2=-1 und nicht i^2=-i.

gruß clara
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NKasang (electric)
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Neues Mitglied
Benutzername: electric

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 30. September, 2002 - 18:45:   Beitrag drucken

Vielen Dank. Habe meinen Flüchtigkeitsfehler inzwischen selber entdeckt. Gott sei Dank... :-)

Schönen Abend noch!

(Beitrag nachträglich am 30., September. 2002 von Electric editiert)
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Benni
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Oktober, 2002 - 13:46:   Beitrag drucken

Hallo!

Eine andere Möglichkeit wäre zum Beispiel, die Zahl in eine Exponentialfunktion umzuwandeln =>

erst Betrag und Winkel in der Gausschen Zahlenebene ausrechen, dann gilt

z = r(cos(x) + i*sin(x)) (r = Betrag, x= Winkel)

<=> Z = r*e^(i*X)

(Geht über komplexe Exponentialfunktion!)

Danach ist eine Potenzierung einfache Anwendung der Potenzgesetze (Z^n = r^n*e^(n*i*x)).
Auch das berechnen der komplexen Wurzeln ist so erheblich einfacher...

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