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Peter v.H. (Logitwo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. März, 2001 - 17:02: | 
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Hilfe. Kann mir jemand erklären, wie ich folgende Aufgabe lösen kann?
Welche Bedingungen müssen a und b erfüllen, damit sich y1(x) und y2(x) unter 90° schneiden?
y1(x)=x^2+2ax-b
y2(x)=-x^2-2ax+b |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 06:46: |
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Hi Peter v. H. ,
Wir berechnen zuerst die Schnittpunkte S1 und S2 der Parabeln.
Durch Addition der Gleichungen erhalten wir y = 0.
Daraus entsteht die quadratische Gleichung für x:
x ^ 2 + 2a x - b = 0 mit den Lösungen
x1 = - a + w und x2 = -a - w , wobei w = wurzel (a ^ 2 + b) gilt.
Wir arbeiten im Folgenden nur mit der Lösung x1;
x2 liefert dieselbe Bedingung für a und b wie x1.
Die Steigungen der beiden Parabeln in S1 werden mit m und n
bezeichnet
Wir erhalten diese Steigungen aus den Ableitungen
y ' = 2x + 2a bezw. y ' = - 2x - 2a , indem wir jeweils x1 einsetzen
m = - 2 a + 2 w + 2 a = 2 w
n = 2 a - 2 w - 2 a = - 2 w
Nun kommt die Orthogonalitätsbedingung zum Zug
Die Bedingung für den senkrechten Schnitt lautet bekanntlich
m * n = - 1; daraus entsteht im vorliegenden Fall die Relation:
- 4 w ^ 2 = - 1 , also w ^ 2 = ¼
Dies bedeutet gemäss der Definition von w :
a ^ 2 + b = ¼ oder 4 a ^ 2 + 4 b = 1 .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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