| Autor |
Beitrag |
    
Alex (Jackal)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 16:46: | 
|
Hallo!
Ich sitze vor einer Aufgabe und komme einfach nicht auf den Lösungsweg:
"Gib die Lösungen folgender Gleichung in Polarform und Normalform an! Die Werte der auftretende trigonometrischen Funktionen lassen sich exakt angeben. z^3 = 27 |
Frank (Norg)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 12:41: |
|
Hallo.
Nun, wie du sicher weißt hat eine solche Gleichung
in C 3 Lösungen, die du nur noch finden mußt.
Eine ist dir sicher gleich eingefallen:
z1 = 3
Die anderen Lösungen bekommst du über die dritten Einheitswurzeln; das sind die Zahlen, die hoch 3
1+0i ergeben:
e1 = 1
e2 = -1/2 + Ö3/2
e3 = -1/2 - Ö3/2
Also sind die andern Lösungen:
z2 = e2*3
z3 = e3*3
Soviel zur Normalform.
In der Polarform ist das ganze noch einfacher:
r = |z| (Betrag von z)
a = arg(z) (Argument/Winkel von z)
z=r*(cosa + i*sina)
z3=r3*(cos3a + i*sin3a)
Mit der Gleichung oben gilt:
r3*(cos3a + i*sin3a) = 27
Da |cosx + isinx| = 1, für x € R, gilt:
r = 3
Fehlt also noch a:
cos3a + i*sin3a = 1 = cos0° + i*sin0°
Þ
cos3a = cos0°
sin3a = sin0°
Lösungen für 0°£a<360°:
a1 = 0°
a2 = 120°
a1 = 240°
Den Rest kannst du dir selbst überlegen.
MfG Frank. |
|
