| Autor |
Beitrag |
    
Christoph (Virtual)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 18:20: | 
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Hi!
Hier mal eine Aufgabe:
Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit den Punkten A(6-0-0) B(6-6-0) C(0-6-0) D(Koordinaten unbekannt) und S(3-3-6)
a) Eine Ebene E geht durch die Mittelpunkte der Kanten SB und SC und ist orthogonal zur Seitenfläche BCS. Bestimmen sie eine Gleichung für E...
b) Eine zweite Ebene F geht durch die Mittelpunkte der Kanten SA und SB und ist orthogonal zur Seitenfläche ABS. Bestimme eine Gleichung für F.
und c) Bestimme den Schnittwinkel der beiden Ebenenen...
Tipps? danke... |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Februar, 2001 - 12:06: |
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Hi Christoph,
Wir lösen Deine Aufgabe in 7 Einzelschritten:
1.
Da sämtliche Punkte A, B,C in der (x,y)-Ebene liegen ,
erkennen wir verschiedene Zusammenhänge anschaulich,
insbesondere:
Die Ecke D der Grundfläche ABCD fällt mit dem
Nullpunkt O des Koordinatensystems zusammen.
2
Wir ermitteln die Mittelpunkte M1, M2, M3 der Seitenkanten
SB, SC , SA (diese Reihenfolge),indem wir das
arithmetische Mittel der Koordinaten der Endpunkte berechnen
Mittelpunkt der Strecke SB: M1(4.5 / 4.5 / 3)
Mittelpunkt der Strecke SC: M2(1.5 / 4.5 / 3)
Mittelpunkt der Strecke SA: M3(4.5 / 1.5 / 3)
3.
Herleitung eines Normalenvektors n der Seitenflächenebene
BCS
Der Vektor n ergibt sich als Vektorprodukt der Vektoren
p = SB = { 3 ; 3; -6 } und q = SC = { -3 ; 3 ; -6}
n = p x q = { 0; 36; 18 } = 18 *{ 0: 2 : 1 }
Den Faktor 18 dürfen wir weglassen, und wir benützen künftig
n = {0;2;1}
4.
Der Verbindungsvektor u = M2 M1 liegt in der gesuchten Ebene E,
ebenso der vorhin ermittelte Vektor n.
(wegen der verlangten Orthogonalität),
somit ist das Vektorprodukt m = n x u = {0;3;-6} = 3 * { 0 ; 1; -2 }
ein Normalenvektor der gesuchten Ebene E, deren Gleichung
demnach lautet:
y - 2z = - 1.5
(die Konstante rechts ergibt sich aus der Bedingung,
dass E durch M1 geht).
5.
Wir gehen analog zu Punkt 3. vor
Normalenvektor n der Ebene ABS als Vektorprodukt
r = SA = { 3 ; -3; -6 } und p = SB = { 3; 3; -6 }:
n = r x p = {3 6; 0 ; 18 } = 18 { 2 ; 0 ; 1 }
wir verwenden für n den verkürzten Vektor{2 ;0 ; 1 }
6.
Wir gehen analog zu Punkt 4 vor.
Das Vektorprodukt m = n x v ist ein Normalenvektor der gesuchten Ebene F.
Wir berechnen m = {3;0;-6} = 3 { 1 ; 0 ; - 2 }
Somit erhalten wir die Gleichung für F:
x - 2 z = - 1.5 (F geht durch M3)
7.
Schnittwinkel phi der Ebenen E und F als Winkel der Ebenennormalen
nE= { 0 ; 1 ; - 2 } und nF = {1; 0 ; - 2 }
Mit der bekannten Formel ,welche der Definitionsgleichung
des Skalarproduktes entspringt, kommt
cos (phi) = Skalarprodukt der Vektoren nE und nF dividiert durch
das Produkt der Beträge dieser Vektoren =
4 / [wurzel(5)] ^ 2 = 4 / 5 ;
daraus phi ~ 36.87°
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Christoph (Virtual)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Februar, 2001 - 14:39: |
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wow, beeindruckend....
:-)
Muss mir das ganze jetzt nochmal auseinander denken...
Aber vielen Dank |
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