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Christoph (Virtual)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 18:20: |
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Hi! Hier mal eine Aufgabe: Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit den Punkten A(6-0-0) B(6-6-0) C(0-6-0) D(Koordinaten unbekannt) und S(3-3-6) a) Eine Ebene E geht durch die Mittelpunkte der Kanten SB und SC und ist orthogonal zur Seitenfläche BCS. Bestimmen sie eine Gleichung für E... b) Eine zweite Ebene F geht durch die Mittelpunkte der Kanten SA und SB und ist orthogonal zur Seitenfläche ABS. Bestimme eine Gleichung für F. und c) Bestimme den Schnittwinkel der beiden Ebenenen... Tipps? danke... |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Februar, 2001 - 12:06: |
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Hi Christoph, Wir lösen Deine Aufgabe in 7 Einzelschritten: 1. Da sämtliche Punkte A, B,C in der (x,y)-Ebene liegen , erkennen wir verschiedene Zusammenhänge anschaulich, insbesondere: Die Ecke D der Grundfläche ABCD fällt mit dem Nullpunkt O des Koordinatensystems zusammen. 2 Wir ermitteln die Mittelpunkte M1, M2, M3 der Seitenkanten SB, SC , SA (diese Reihenfolge),indem wir das arithmetische Mittel der Koordinaten der Endpunkte berechnen Mittelpunkt der Strecke SB: M1(4.5 / 4.5 / 3) Mittelpunkt der Strecke SC: M2(1.5 / 4.5 / 3) Mittelpunkt der Strecke SA: M3(4.5 / 1.5 / 3) 3. Herleitung eines Normalenvektors n der Seitenflächenebene BCS Der Vektor n ergibt sich als Vektorprodukt der Vektoren p = SB = { 3 ; 3; -6 } und q = SC = { -3 ; 3 ; -6} n = p x q = { 0; 36; 18 } = 18 *{ 0: 2 : 1 } Den Faktor 18 dürfen wir weglassen, und wir benützen künftig n = {0;2;1} 4. Der Verbindungsvektor u = M2 M1 liegt in der gesuchten Ebene E, ebenso der vorhin ermittelte Vektor n. (wegen der verlangten Orthogonalität), somit ist das Vektorprodukt m = n x u = {0;3;-6} = 3 * { 0 ; 1; -2 } ein Normalenvektor der gesuchten Ebene E, deren Gleichung demnach lautet: y - 2z = - 1.5 (die Konstante rechts ergibt sich aus der Bedingung, dass E durch M1 geht). 5. Wir gehen analog zu Punkt 3. vor Normalenvektor n der Ebene ABS als Vektorprodukt r = SA = { 3 ; -3; -6 } und p = SB = { 3; 3; -6 }: n = r x p = {3 6; 0 ; 18 } = 18 { 2 ; 0 ; 1 } wir verwenden für n den verkürzten Vektor{2 ;0 ; 1 } 6. Wir gehen analog zu Punkt 4 vor. Das Vektorprodukt m = n x v ist ein Normalenvektor der gesuchten Ebene F. Wir berechnen m = {3;0;-6} = 3 { 1 ; 0 ; - 2 } Somit erhalten wir die Gleichung für F: x - 2 z = - 1.5 (F geht durch M3) 7. Schnittwinkel phi der Ebenen E und F als Winkel der Ebenennormalen nE= { 0 ; 1 ; - 2 } und nF = {1; 0 ; - 2 } Mit der bekannten Formel ,welche der Definitionsgleichung des Skalarproduktes entspringt, kommt cos (phi) = Skalarprodukt der Vektoren nE und nF dividiert durch das Produkt der Beträge dieser Vektoren = 4 / [wurzel(5)] ^ 2 = 4 / 5 ; daraus phi ~ 36.87° Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
Christoph (Virtual)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Februar, 2001 - 14:39: |
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wow, beeindruckend.... :-) Muss mir das ganze jetzt nochmal auseinander denken... Aber vielen Dank |
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