| Autor |
Beitrag |
    
Dominik
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Dezember, 2000 - 20:09: | 
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Hallo,
gerade sitze ich über folgender Aufgabe, komme aber leider zu keinem Ergebnis:
Ein Trichter werde (ohne das Ansatzrohr) durch einen geraden Kreiskegel wiedergegeben. Wie ist der Öffnungswinkel 2*Alpha dieses Kegels zu wählen, damit der Trichter bei gegebenem Oberflächeninhalt ein möglichst großes Volumen V besitzt?
Der Ansatz ist klar, die Volumenfunktion nach der Veränderlichen ableiten und dann = Null setzten. Ich schaffe es aber nicht, die Volumenformel bis auf eine Unbekannte zu vereinfachen. Wer weiß hier Rat?
Gruß,
Dominik |
IQzero
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Dezember, 2000 - 01:23: |
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ZF: V = 1/3 Pi r² h
Da der Trichter keine Grundfläche hat ist die Mantelfläche eine NB und Pythagoras im Kegel die andere:
NB1: M = Pi r s ==> s² = M² / (Pi² r²)
NB2: h² + r² = s² ==> h² = s² - r²
NB1 in NB2: h² = M² / (Pi² r²) - r²
in ZF: V = 1/3 Pi r² Sqr( M² / (Pi² r²) - r² )
Das liesse sich zwar ableiten (Produktregel, Kettenregel und statt r² im Nenner r^-2 schreiben...) und auch Null setzen (mit Wurzel erweitern auf einen Nenner bringen und dann Zähler Null setzen...) Das macht aber nicht so wirklich Freude. Man kann aber auch argumentieren,
dass das Volumen genau dann maximal wird, wenn auch das Quadrat des Volumens maximal ist.
Das lässt sich einfacher berechnen.
V² = 1/9 Pi² r^4 ( M² / (Pi² r²) - r² )
V² = 1/9 M² r² - 1/9 Pi² r^6
V²' = 2/9 M² r - 6/9 Pi² r^5
0 = 2/9 M² r - 6/9 Pi² r^5
r^4 = 1/3 M²/Pi²
r² = Sqr(1/3) M/Pi
r² = 1/3 Sqr3 M/Pi
Einsetzen in die nach h² umgestellte Gleichung:
h² = M² / (Pi² 1/3 Sqr3 M/Pi) - Sqr(1/3) M/Pi
h² = Sqr3 M/Pi - 1/3 Sqr3 M/Pi
h² = 2/3 Sqr3 M/Pi
Damit ergibt sich für r²/h²
r² / h² = 1 / 2
r / h = Sqr(1/2)
tan(a) = r / h
tan(a) = Sqr(1/2)
a = atn(sqr(1/2))
a ~ 35,26° |
Birk
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Dezember, 2000 - 01:38: |
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Hi Dominik!
Ich finde es garnicht günstig, bis auf eine Variable vereinfachen zu wollen.
Ich nehme mal als NB: r²=s²-h² und cosAlpha=h/s
Volumen:
V=(1/3)*PI*r²*h |mit r²=s²-h²
V=(1/3)*PI*(s²-h²)*h |Klammer ausmulti.
V=(1/3)*PI*s²*h-(1/3)*PI*h³
1.Ableitung:
V=(1/3)*PI*s²-(1/3)*PI*3*h²
V'=(1/3)*PI*s²-PI*h²
2.Ableitung zur Kontrolle:
V'=(1/3)*PI*s²-PI*h²
V"=-2*PI*h ist für alle pos h immer neg: Maximum
1.Ableitung =0 setzen
0=(1/3)*PI*s²-PI*h²
PI*h²=(1/3)*PI*s² | :PI
h²=(1/3)*s² |Wurzel
h=Wurzel(1/3)*s | :s
h/s=Wurzel(1/3) |mit cosAlpha=h/s
cosAlpha=Wurzel(1/3)
Alpha=54,74°
2*Alpha=109,5°
--------------
Gruß, Birk |
Dominik
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Dezember, 2000 - 09:10: |
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Moin Jungs,
danke für Eure Mühe. Ich glaube, der erste Rechenweg scheint mir der Richtige zu sein, da in Birk`s Ableitung die Veränderliche Größe "s" als Konstante betrachtet worden ist, ich vermute mal, das geht so einfach aber nicht, oder liege ich da falsch? Vermutlich würde man hier mit LAGRANGE weiterkommen, oder? Was mich aber verwundert, ist die Tatsache, daß bei der Lösung ein Zahlenwert herauskommt. Das heißt also, für jede beliebige Mantelfläche muß der Winkel Alpha immer 35,26 betragen, so daß V maximal wird? Seltsam.
Gruß,
Dominik. |
IQzero
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Dezember, 2000 - 10:33: |
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Hi Dominik!
Ich finde es nicht verwunderlich, dass für alpha ein Zahlenwert herauskommt. Für h und r wirst Du selbverständlich keine konkreten Zahlen errechnen können. Aber die Proportionen, also das Verhältnis der Abmessungen wird wohl in allen Fällen gleich sein, egal wieviel Material man verwendet. Somit ist auch der Öffnungswinkel immer gleich. (Bei der Streckung von Figuren bleibt auch der Winkel gleich, obwohl sich die Längen ändern.) |
Birk
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Dezember, 2000 - 04:26: |
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Hallo alle zusammen!
Ich habe mich jetzt ein paar Stunden damit
herumgeschlagen, aber ich bleibe bei meiner
Lösung. Interessant ist, das wir genau auf entgegengesetzte Aussagen stoßen.
Bei mir ist r= Wurzel(2)*h
und bei IQZero ist h= Wurzel(2)*r
und jetz fällt mir was auf:
Ich habe den Winkel im Boden des Trichters berechnet. Und obwohl es bei IQZero auch r und h heißt, ist es doch der Winkel oben. Mal sehen:
109,5° + 2*35,26° = 180°
Trotzdem habe ich den Fehler noch nicht gefunden.
Na ja, wie gesagt, ich bleibe dabei: r= Wurzel(2)*h
Gruß an alle, Birk |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Dezember, 2000 - 15:21: |
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Hi Dominik,Hi IQzero,Hi Birk
Wir sollten unsere Hochform ,die sich bei der
Berechnung von Extremalwerten beim Kegelvolumen
eingestellt hat, ausnützen und die im Titel formulierte
Aufgabe lösen, nämlich:
Von einem Rotationskegel ist die gesamte Oberfläche
als Konstante A gegeben. Berechne den (halben)
Oeffnungswinnkel a , bei welchem das Volumen des Kegels
ein Maximum annimmt.
Ich habe als Resultat a = arc tan [wurzel 2 / 4 ] erhalten.
Darf ich um eine Nachkontrolle bitten !
Es ist reizvoll, das Ergebnis mit dem Resultat von
IQzero zu vergleichen, das er bei der Trichteraufgabe
( konstante Mantelfläche) erhalten hat.
Allfällige Rechenfehler oder Ueberlegungsfehler
sowohl bei der alten als auch bei dieser neuen Aufgabe
können später besprochen werden.
Manöverkritik ist oft recht nützlich,
ist aber post festum anzubringen.
Meine Hoffnung geht dahin, dass. alle dasselbe Ergebnis
bekommen!
Bis dahin
Mit freudlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Birk
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Dezember, 2000 - 19:30: |
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Hallo!
In Hochform:
Eine weitere (falsche?) Lösung
r=s*sinAlpha
h=s*cosAlpha
V=(1/3)*PI*r²*h
V=(1/3)*PI*s*(sinAlpha*s)²*cosAlpha
V=(1/3)*PI*s³*(sin²Alpha)²*cosAlpha
V'=(1/3)*PI*s³*(2sinAlpha*cos²Alpha+sin²Alpha*-sinAlpha)
0=(1/3)*PI*s³*(2sinAlpha*cos²Alpha+sin²Alpha*-sinAlpha)
0=2sinAlpha*cos²Alpha+sin²Alpha*-sinAlpha
-(sin²Alpha*-sinAlpha)=2sinAlpha*cos²Alpha
sin²Alpha*sinAlpha=2sinAlpha*cos²Alpha
sin²Alpha=2*cos²Alpha
sin²Alpha/cos²Alpha=2
sinAlpha/cosAlpha=Wurzel(2)
tanAlpha=Wurzel(2)
Alpha=54,74°
2Alpha=109,48
--------------
Wo ist der Fehler?
Bin auf die Lösung von H.R.Moser gespannt!
Gruß, Birk |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Dezember, 2000 - 23:04: |
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Hi Birk,
Bevor wir auf die Fehlersuche gehen, führe ich Dir
meine Lösung vor, mit der Bitte um kritische Wertung.
Ich verwende die üblichen Bezeichnungen, insbesondere
bedeutet A die Gesamtoberfläche und a der Winkel an
der Spitze zwischen Achse und Mantellinie.
Es ist h = s * cos a , r = s * sin a
A = Pi * r ^ 2 + Pi * r* s
= Pi * s^2 *(sin a)^2 + Pi * s^2 * sin a
Daraus s^2 = A [ Pi * sin a * ( sin a + 1) ]; wir setzen dies in die
Volumenformel V = 1/3 * Pi * r^2 * h.=
1/3 * Pi * s^3 * (sin a) ^2 * cos a ein;
für s ^3 verwenden wir dabei (s^2)^(3/2), also
V = A^(3/2) / [3*wurzel(Pi)] * f(a) ,
mit f(a) = cos a * wurzel(sin a ) / [ (sin a + 1) ^ (3 / 2) ]
Es bleibt uns die Aufgabe ,das relevante Extremum von
g(a) = [f(a)]^2 zu suchen
Wir leiten g(a) mit der Quotientenregel ab ,
formen vorher aber noch etwas um:
g(a) = [sin a* ( cos a) ^ 2] / [(sin a + 1 ) ^ 3] =
sin a * ( 1 - sin a) / (1 + sin a) ^ 2
Die vereinfachte Form der Ableitung lautet nun:
g ' (a) = ( 1- 3* sin a ) / (1 + sin a) ^ 3
g ' ( a ) = 0 führt auf sin a = 1 / 3 oder mittels Tangens:
tan a = wurzel(2) / 4 ,wie ich in meiner vorhergehenden Aufgabe
erwähnt habe.
Hoffentlich ist diese Herleitung einigermassen verständlich!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Birk
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Dezember, 2000 - 02:49: |
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Habe gerade diese schöne Rechnung gefunden.
Wollte ja eigentlich gerade aufhören für heute.
Beim überfliegen aber gleich eine Frage, wieso:
s^2=A[Pi*sin a*(sin a + 1)];
Bei mir wäre da schon:
s^2=A / (Pi*sin a*(sin a + 1))
Vielleicht ist es ja auch bloß schon sehr spät.
Und wie man auf
V = A^(3/2) / [3*wurzel(Pi)] * f(a)
kommt, schaue ich mir morgen an.
Falls nicht, viele Grüße und ein
Frohes Fest für alle,
wünscht Birk |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Dezember, 2000 - 15:07: |
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Hi Birk,
Bei nächtlichen Arbeiten im Board haben Tippfehler
besondere Chancen.
Der auch von Dir festgestellte Fehler soll korrigiert werden:
Richtig muss es heissen:s^2 = A / [... ] statt s^2 = A [... ....]
Bei Deiner Rechnung ist ein grundsätzlicher Fehler passiert.
Das Volumen (Zielfunktion) darf ,sobald man zur Ableitung
übergehen will, nur von einer einzigen Variablen abhängig sein,
etwa vom Winkel a, nicht noch zusätzlich von einer anderen
Variablen , etwa s .
Mit anderen Worten :neben der Variablen a dürfen im Term
für V nur konstante Grössen, etwa Pi und eben die als konstant
vorausgesetzte Oberfläche A auftreten
Diese Bedingung wird oft übersehen und stellt sich oft als
Stolperstein bei Extremalproblemen dar.
Frohe Festtage wünscht allen
H.R.Moser,megamath. |
Dominik
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Dezember, 2000 - 17:11: |
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Hallo Ihr Mathe-Freaks,
ich möchte mich noch mal bei Euch dafür bedanken, daß meiner Aufgabe so viel Aufmerksamkeit geschenkt wurde. Zwischenzeitlich habe ich den Aufgabensteller um eine Lösung gebeten, habe aber noch keine Antwort bekommen. (Ist ja auch schon fast ein Frevel, so kurz vor Weihnachten seinen Mathe-Prof. per E-Mail noch um eine Lösung zu bitten, zumal für eine Aufgabe, die schon mehrere Semester zurückliegt...)
Ich denke aber, mit 35,26° liegen wir gar nicht so schlecht im Rennen.
Also dann, ich wünsche allen ein paar schöne Feiertage (und lasst Euch reichlich beschenken...)
Gruß
Dominik |
Birk
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Dezember, 2000 - 18:29: |
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Ja, ich hab' auch gemerkt, daß da der Denkfehler war.
Bei mir war s konstant, weil ja A konstant.
Ist natürlich Unsinn.
Bis bald. |
Birk
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Dezember, 2000 - 18:30: |
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Ja, ich hab' auch gemerkt, daß da der Denkfehler war.
Bei mir war s konstant, weil ja A konstant.
Ist natürlich Unsinn.
Aber wenn man einmal auf diesem Weg ist, zieht sich das durch jede Rechnung, egal wie man ansetzt.
Bis bald. |
Muphty (Muphty)
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. März, 2015 - 10:58: |
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Lösung IQZero stimmt - Lösungsblatt FH KA |
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