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Simone
| Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 15:20: |
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Hallo!!! Wer kann mir bei den beiden folgenden Mathe-Aufgaben behilflich sein? 1. Welche zylindrische Dose mit dem Oberflächeninhalt von 1 dm² hat das größte Volumen? und: 2. Welche quadratische Säule mit gegebenem Volumen hat die kürzeste Körperdiagonale? Dankeschön!!! |
Clemens
| Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 16:52: |
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Hallo Simone! Ich gehe davon aus, daß die Dose mit Deckel gemeint ist. Die Hauptbedingung ist: V = r^2*Pi*h Und die Nebenbedingung ist die Oberfläche: O = 2r^2*Pi + 2r*Pi*h Aus der Oberfläche drückst Du h aus: h = (O - 2r^2*Pi)/(2r*Pi) und setzt in die Hauptbedingung ein: V = r^2*Pi*(O - 2r^2*Pi)/(2r*Pi) Kürzen: V = r*(O - 2r^2*Pi)/2 Das 1/2 kannst Du als konstanten Faktor weglassen; den Rest multiplizierst Du aus: V(r) = Or - 2r^3*Pi Differenzieren und Nullsetzen: V'(r) = O - 6r^2*Pi = 0 => r = Wurzel(O/(6*Pi)) ...und jetzt kannst Du für O auch den Wert 1dm² einsetzen... Um festzustellen, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt, bildest Du die zweite Ableitung... V''(r) = -12r*Pi ...die ist offensichtlich negativ, damit handelt es sich um ein Maximum! ...h ausrechnen nicht vergessen! Und zur zweiten Aufgabe: Die Hauptbedingung ist: d = Wurzel(a^2 + a^2 + h^2) Und Nebenbedingung ist das Volumen: V = a^2*h Aus der Nebenbedingung drückst Du a^2 aus: a^2 = V/h und setzt in die Hauptbedingung ein d = Wurzel(2V/h + h^2) Die Hauptbedingung darfst Du quadrieren; und statt 2V/h schreibst Du 2V*h^(-1), dann brauchst Du die Quotientenregel nicht d(h) = 2V*h^(-1) + h^2 Differenzieren und Nullsetzen d'(h) = -2V*h^(-2) + 2h = 0 h = V/h^2 h = DritteWurzel(V) a = ... = DritteWurzel(V) => es handelt sich um einen Würfel Um zu beweisen, daß es sich um ein Minimum handelt, bildest Du die zweite Ableitung d''(h) = +4Vh^(-3) + 2 Und die ist positiv. Damit ist es ein Minimum. Falls Du noch Fragen hast, mail mir einfach! (clemens.muellner@rtl-online.de) Liebe Grüße Clemens |
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