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Stetigkeit und Lücken: wahr oder fals...

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Jojo
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 31. Mai, 2002 - 14:50:   Beitrag drucken

Hallo,
ich habe hier ein kleines Problem. Ich habe ein paar mathematische Sätze bzw. Fragen, die ich beantworten und begründen soll, leider habe ich keine Ahnung, wie man darauf kommt.
Wäre super, wenn ihr mir helfen könntet! Danke!
1. Die Funktion f(x) ist an der Stelle f´(x) differenzierbar. Ist sie auch stetig?
2. Die Funktion f(x) hat an der Stelle f´(x)eine Lücke. Ist sie differenzierbar?
3. Die Funktion f(x) ist an der Stelle f´(x) unstetig. Ist sie differenzierbar?
Vielen Dank schon mal!
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DULL
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 31. Mai, 2002 - 16:23:   Beitrag drucken

Hi Jojo!

zu 1) Ja, denn ist eine Funktion an einer Stelle x difefrenzierbar ist sie dort auch stetig!

Beweis:
Da die Funktion an der Stelle x differenzierbar ist, existiert f'(x)=lim (von x->x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)
nach dem dritten Grenzwertsatz gilt:
lim (von x->x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)*(x-x0)
= lim (von x->x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0) * lim (von x->x0) (x-x0) =0 , da lim (von x->x0) (x-x0)=0 gilt!
Durch Kürzen von x-x0 folgt: lim (von x->x0) (f(x)-f(x0)) = 0
--> Die Funktion ist auch stetig (an der gegebenen Stelle)!

zu 3) das ergibt sich direkt aus der Richtigkeit von 1) --> sie ist sicher nicht differenzierbar!
(differenzierbar -> stetig <=> unstetig -> nicht diff-bar)

zu 2) auch dies ergibt sich aus 1): Sie hat eine Lücke --> sie ist unstetig --> sie ist nicht differenzeirbar!

Ich hoffe das hilft dir!

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