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Beitrag |
    
Johannes
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 11:29: | 
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1) Einer Halbkugel vom Radius R soll ein Zylinder mit maximalem Rauminhalt einbeschrieben werden.
2) Gegeben ist eine zur x-Achse im Abstand 9 parallele Gerade g1 und die Gerade g2 zu y=ax-a², wobei 0<a<9 ist. Die y-Achse ist die Gerade g2 begrenzen auf g1 eine Strecke von der Länge d. Welche Zahl ist in a einzusetzen, damit d ein absolutes Minimum annimmt?
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Schuster (s_oeht)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 54
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 13:32: |
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1)
betracht einen senkrechten schnitt durch die halbkugel und stelle diesen in einem koordinatensystem dar:
f(x)=sqrt(R^2-x^2)
V(r,h)=pi/3*r^2*h
r=x h=f(x)
V(x)=x*sqrt(R^2-x^2)
V'(x)=sqrt(R^2-x^2)-x^2/sqrt(R^2-x^2)=0
(R^2-2x^2)/sqrt(R^2-x^2)=0
R^2-2x^2=0
x=r=R/sqrt(2) (negative lösung entfällt)
2.
schnittstelle der beiden geraden:
x=(9+a^2)/a
nach pythagoras ergibt sich für d:
d(a)=sqrt(1+1/a^2)*(9+a^2)
nullsetzen der ersten aubleitung liefert:
a=1,5
stellt ein absolutes minimum dar, da d(a) links von 1,5 im mgegebenen intervall fallend und rechts davon steigend ist!
MfG Theo
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Schuster (s_oeht)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 56
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 13:57: |
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hab bei ersten ein wenig mist gerechnet:
V(r,h)=pi*r^2*h
r=x h=f(x)
V(x)=pi*x^2*sqrt(R^2-x^2)
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Schuster (s_oeht)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 57
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Mai, 2002 - 14:01: |
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V'(x)=0
liefert die lösungen:
0, 1/3*sqrt(6)*R, -1/3*sqrt(6)*R
r=1/3*sqrt(6)*R |
Johannes
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Mai, 2002 - 14:12: |
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2 verstehe ich irgendwie nicht..
Woher kommt diese Gleichung?
d(a)=sqrt(1+1/a^2)*(9+a^2)
Danke schon mal. |
A.K. (akka)
Mitglied
Benutzername: akka
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 08:25: |
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Hallo Johannes
zunächst mal eine Skizze
Der Punkt P ist der Schnittpunkt der Geraden g1 mit der y-Achse; also P(0|9)
Der Punkt Q ist der Schnittpunkt der Geraden g1 und g2.
wegen g1: y=9 und g2: y=ax-a² folgt
g1=g2
<=> 9=ax-a²
<=> ax=9+a²
<=> x=(9+a²)/a
Damit gilt Q((9+a²)/a|9).
Die Länge der Strecke PQ entspricht nun genau dem x-Wert des Punktes Q; also
d(a)=(9+a²)/a=(9/a)+a
=> d'(a)=-9/a²+1=0
<=> 9/a²=1
<=> a²=9
=> a=3
Wegen d"(a)=18/a³ => d"(3)=18/27>0 => Min
Somit ist a=3 der gesuchte Wert und es gilt
g2: y=3x-9 und
d=(9+3²)/3=6
Mfg K. |
johannes
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 13:25: |
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Danke - drucke das gleich aus!  |
