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mt
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 18:04: | 
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guten abend,
kann mir u. a. bsp. mal jemand ausführlich erklären? irgendwie versteh ich da nämlich nur bahnhof.
ein trichter hat die form eines kelgels mit aufgesetztem zylinder. die kegelmantellinie s ist 3 mal so lang wie die höhe des zylinders. wie groß muss der winkel zwischen der achse des trichters und der mantellinie gewählt werden, damit bei gegebener zylinderhöhe a das trichtervolumen maximal wird.
hb: müsste sein: V: trichter + zylinder
ich komm aber nicht auf die nebenbediengung und ausserdem sind mir da viel zu wenige fakten..... |
Birk
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 21:38: |
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Hallo mt!
Die HB hast Du doch schon sehr schön.
V=1/3*PI*r²*h + PI*r²*a
soll abhängig von a sein, also sollten wir r oder h ersetzen.
Für die Seitenlänge im Kegel gilt Pythagoras:
s²=r²+h² und das r im Zylinder ist zwangsweise= r im Kegel.
Würdest Du diese Formel nach h umstellen, bekommst Du eine Wurzel und die Rechnung zieht sich über 2 A4-Seiten, wer mal Lust hat zu probieren?!
Also lieber nach r² und s ersetzen wir durch die gegebenen 3a.
s²=r²+h²
r²=s²-h²
r²=9a²-h² Das ist nun unsere NB. Einsetzen in HB:
V=1/3*PI*r²*h + PI*r²*a |mit r²=9a²-h²
V=1/3*PI*h*(9a²-h²) + PI*a*(9a²-h²)
Ausmultiplizieren:
V=1/3*PI*h*(9a²-h²) + PI*a*(9a²-h²)
V=1/3*PI*h*9a²-1/3*PI*h*h² + PI*a*9a²-PI*a*h²
V=3*PI*h*a²-1/3*PI*h³ + PI*9a³-PI*a*h²
nach h ableiten:
V'=3*PI*a²-PI*h² -2*PI*a*h
2.Abl. zur Kontrolle auf Maximum:
V''=-2*PI*h-2*PI*a
> wird für alle positiven h und a immer neg.:Maximum
1.Ableitung =0 setzen:
V'=3*PI*a²-PI*h² -2*PI*a*h
0=3*PI*a²-PI*h² -2*PI*a*h |PI
V'=3*a²-h²-2*a*h
V'=-h²-2*a*h+3*a² |mal -1
V'=h²+2*a*h-3*a² |quadratische Gleichung, pq-Formel
h1=-a+Wurzel(a²+3a²)=-a+2a = a
h2=-a-Wurzel(a²+3a²)=-a-2a = -3a entfällt weil neg
h=a
----
s²=r²+h²
r²=s²-h²
r=Wurzel(s²-h²) |mit a=h und s=2h=3a
r=Wurzel(9a²-a²)
r=Wurzel(8a²)
r=Wurzel(8)*a
-------------
Winkel:
cosAlpha=Ankathete/Hypothenuse
cosAlpha=h/s |mit a=h und s=2h=3a
cosAlpha=a/3a
cosAlpha=1/3
Alpha=70,53°
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Viele Grüße, Birk! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 08:09: |
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Hi Birk,
Du hast diese Aufgabe mit Bravour gelöst und
das (richtige) Resultat mit grossem Fleiss erarbeitet.
Bravo!
Es geht mir nicht etwa darum, Zensuren zu erteilen,
wie es bei Lehrern sonst üblich und berufsbedingt
erforderlich ist!
Ich möchte nur zeigen, dass es auch einfacher geht .
Meine Empfehlung geht dahin, von Anfang an den
Oeffnungswinkel phi des Kegels als unabhängige
Variable einzuführen.
Bezeichnungen:
s = 3a : Mantellinie des Kegels
r = s sin (phi) = 3a sin (phi)
h = s cos (phi) = 3a cos (phi)
Lösung der Extremalaufgabe
Volumen des ganzen Gebildes
V = Pi * r^2 * a + Pi / 3 * r ^ 2 * h
= 9 Pi * a^3 * { [sin(phi)]^2 + [sin (phi)]^2* cos(phi) }
Wir suchen nun das Maximum der Funktion f = f (phi) ,
welche durch den Inhalt der geschweiften Klammer gegeben ist:
Die Ableitung nach phi lautet :
f '(phi) = 2 sin(phi) * cos(phi) + 2 sin(phi)*cos^2 (phi)- sin^3(phi)
Setzt man diese Ableitung null, hebt den von null
verschiedenen Faktor sin(phi) weg und verwendet
sin^2(phi) = 1- cos^2(phi), so
entsteht die quadratische Gleichung für cos (phi) :
3 cos^2(phi) + 2 cos (phi ) - 1 = 0
Die massgebliche Lösung ist
cos (phi) = 1 / 3 , nochmals bravo !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
mt
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 11:42: |
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vielen dank, leute! |
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