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Beitrag |
    
Sandra
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 22:02: | 
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Hallo Ihr,
wer kann mir helfen?
Ich soll die Formel für die Mantelfläche eines Kegels aus einem Rotationskörper entwickeln.
AM=PI*r*s wobei gilt: s²=r²+h²
Die Formel hab ich schon:
AM=2*PI*Integral(y*Wurzel(1+y'²))dx
Aber irgendwie krieg ich da nichts hin,
Bitte,bitte helft mir!
Eure Sandra |
H.R.Moser,megamath,
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 07:16: |
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Hi Sandra,
Motto: Wer rotiert , hat mehr vom Leben !
Wir wählen im ersten Quadrant den Punkt P( h / r ) aus.
Die Strecke OP rotiert um die x-Achse und erzeugt dabei
einen Kegel mit der Spitze O und den gewünschten Daten
Grundkreisradius r , Höhe h.
Wir benötigen die Gleichung der Ursprungsgeraden OP;
diese lautet: y = mx mit m = r / h.
Die Ableitung y' ist die Konstante m .
Wir setzen diese Werte in die von Dir bereitgestellte
Integralformel ein und erhalten für die Mantelfläche M
des Rotationskegels:
M = 2 * Pi * int [ m x * wurzel( 1 + m ^2 )* dx ].
untere Grenze 0 , obere Grenze h.
Wir ziehen die konstanten Faktoren vor das Integral und
erhalten:
M = 2*Pi * m * wurzel( 1 + m^2) * int [ x* dx] in den genannten
Grenzen.
Das Integral hat den Wert h ^ 2 / 2.
Setzt man dies ein ,so erhält man mit Hilfe der
Beziehungen
h^2 + r^2 = s^2 (s: Länge einer Mantellinie ) und m = r / h
nach einer kurzen Rechnung die bekannte Formel für
die Mantelfläche:
M = Pi * r * s , w.z.b.w !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 09:36: |
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Hi Sandra,
Nachtrag:
Verwendet man als Geradengleichung y = m x + r
mit m = (R - r ) / h , bekommt man bei einem
analogen Rechengang die Mantelfläche M eines
geraden Kegelstumpfmantels, dessen Radien R und r
( R > r) und dessen Höhe h gegeben sind.
Als Resultat erhält man
M = Pi * s * (R + r) ; s ist wiederum die Länge einer
Mantellinie.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Sandra
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 20:20: |
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Hallo H.R.Moser!
Vielen, vielen Dank.
Jetzt weiß ich wo mein Fehler war.
Ich habe die Wurzel nicht als Konstante gesehen und immer versucht sie mit zu integrieren. Sonst war ich schon dicht dran.
Also vielen Dank und viele Grüße
Sandra |
Manuela
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 17:13: |
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Hallo.
Ich brauche unbedingt die Herleitung der Formel
PI*Integral von x^2*Betrag von f´(x)dx bei der Berechnung des Volumens von Rotationskörpern um die y - Achse, wenn g(y)= f^-1(y). |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 10:50: |
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Hi Manuela,
Die Volumenformel für einen Rotationskörper der Funktion y=f(x) um die x-Achse ist doch
Vx = p òa b f(x)²dx
Somit ist für einen Rotationskörper um die y-Achse die Volumenformel mit x=g(y)=f-1(y)
Vy = p òf(a) f(b) g(y)²dy
Zur Erinnerung die Substitutionsregel mit x=u(y):
òa b h(x)dx = òu-1(a) u-1(b) h(u(y)) |u'| dy
Mittels Substitution y=f(x) ist dann
dy= |f'(x)| dx
g(y)²= g(f(x))² = x²
mit den Grenzen
f-1(f(a))=a und f-1(f(b))=b
also
Vy = p òa b x² |f'(x)|dx |
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