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Extremwertaufgabe Pyramide

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Kerstin
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Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 13:04:   Beitrag drucken

Die Aufgabe:
Aus vier vorgegebenen Stäben gleicher Länge soll eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche gebildet werden. Wie berechne ich das größt mögliche Volumen ?

Es wäre nett, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte !
Danke schön, Kerstin
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anonym
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Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 14:17:   Beitrag drucken

unmöglich!
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Birk
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Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 16:45:   Beitrag drucken

Hi Kerstin, glaub ihm/ihr nicht!

Zunächst die zu max.Funktion:
V=(1/3)A*h mit quadr.Grundfläche:
V=(1/3)a²*h
Und nun die Nebenbedingung:
Legen wir dazu ein Dreieck in Deine Pyramide:
Hypothenuse s: Kantenlänge der Pyramide
1.Kathete h: Höhe der Pyramide
2.Kathete d/2: Halbe Diagonale der Grundfläche
Wenn Du Dir das nicht vorsstellen kannst, Skizze!
Diagonale der Grundfläche, Pythagoras:
d²=a²+a²
Das Dreieck also,Pythagoras:
s²=h²+(d/2)² oder auch
s²=h²+d²/4 nun d² eingesetzt:
s²=h²+2*a²/4
s²=h²+a²/2
a²/2=s²-h² |*2
a²=2*s²-2*h² und das ist unsere Nebenbedingung.
Eingesetzt in die Hauptformel:
V=(1/3)a²*h mit a²=2*s²-2*h²
V=(1/3)*(2*s²-2*h²)*h |ausmultiplizieren
V=(2/3)*s²*h - (2/3)*h³ |Ableiten nach h
V'=(2/3)*s² - (6/3)*h²
V'=(2/3)*s² - 2*h² |=0 setzen
0=(2/3)*s² - 2*h²
2*h²=(2/3)*s² |:2
h²=(1/3)*s² |Wurzel
h=Wurzel(1/3)*s
---------------
2.Ableitung zur Kontrolle:
V'=(2/3)*s² - (6/3)*h²
V''= -(12/3)*h
V''= -4*h
und das ist für alle pos.h immer neg. > Maximum

Viele Grüße, Birk!
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anonym
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Veröffentlicht am Dienstag, den 14. November, 2000 - 18:22:   Beitrag drucken

Hallo Birk,
Ist ja wunderbar was Du da rechnest!
Aber wo liegen die 4 Stäbe denn?
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Birk
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 16:58:   Beitrag drucken

Ich bin mal davon ausgegangen, daß die nicht liegen, sondern stehen, und so zusammen mit dem Untergrund die Pyramide bilden.
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Kerstin
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Veröffentlicht am Montag, den 20. November, 2000 - 15:59:   Beitrag drucken

Danke Birk !!!!!

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