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ganzrationale Funktion

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Sonstiges » ganzrationale Funktion « Zurück Vor »

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Vanessa
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 15:07:   Beitrag drucken

Hallo ich habe folgendes Problem. Ich würde gerne diese Aufgaben ausrechnen aber ich verstehe das nicht .Könntet ihr mir das freundlicherweise erklären und ausrechnen.

1. Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse verläuft, die Nullstelle bei 1 und einen relativen Hochpunkt bei P = p (2;2) hat.

2. a) Berechnen Sie alle Nullstellen von f mit f: x è x³-4x³-11x+30.
b) Geben Sie eien vollständige Linearfaktordarstellung von f an.
c) Berechnen Sie alle Nullstellen von f(x)=(x+ wurzel aus 2)(x- wurzel aus 2)(x+7)(x-7)


MFG Vanessa
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Martin (martin243)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: martin243

Nummer des Beitrags: 85
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 18:00:   Beitrag drucken

Hi Vanessa!

1.
Ich versuche dir zu helfen, indem ich die Hinweise Stück für Stück abarbeite:

Gesucht: ganzrationale Fkt. 4. Grades
ergibt die allgemeine Gleichung:
f(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e

Ihr Graph ist symmetrisch zur y-Achse
bedeutet, dass nur gerade Potenzen von x vorkommen, also 4, 2 und 0.
Daraus ergibt sich die vereinfachte Gleichung:
f(x) = ax4 + cx² + e

Eine Nullstelle liegt bei 1
bedeutet:
f(1) = 0, also:
a*14 + c*1² + e = 0
a + c + e = 0 (I)

Der Punkt P(2 / 2) liegt auf dem Graphen, also:
f(2) = 2
a*24 + c*2² + e = 2
16a + 4c + e = 2 (II)

Und nun soll P(2 / 2) ein Hochpunkt sein, also:
f'(2) = 0
f(x) = ax4 + cx² + e Þ f'(x) = 4ax³ + 2cx
4*a*2³ + 2*c*2 = 0
32a + 4c = 0 III

Die rot markierten Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungen sind:
a = -2/9
c = 1 7/9
e = -1 5/9

So viel erstmal zur 1. Aufgabe
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Vanessa
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 18:18:   Beitrag drucken

Oh Martin, ich habe die Aufgabe f mit f: x è x³-4x³-11x+30 falsch aufgeschrieben richtig ist f mit f: x => x³-4x³-11x+30.
Sorry, ist mir wirklich peinlich
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Martin (martin243)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: martin243

Nummer des Beitrags: 86
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 18:55:   Beitrag drucken

Gut, dass ich Simpsons gucken wollte. Da hast du den Fehler rechtzeitig gemerkt.
Nun zur 2. Aufgabe:

a) Ich vermute, du meinst:
f(x) = x³-4x²-11x+30 = 0 (beachte das Quadrat!)

Nun kann ich entweder stur die Formel für kubische Gleichungen benutzen oder ich suche mir eine Nullstelle und löse den Rest nach der "pq-Formel". Ich mache Letzteres:

Durch Ausprobieren erhalte ich:
x1 = 2

Nun kommt die Polynomdivision:
[x³ - 4x² -11x + 30]:[x - 2] = x² - 2x - 15

Nun nach Vieta:
x² - 2x - 15 = 0
(x - 5)(x + 3) = 0

Also:
x2 = 5 und x3 = -3

b)
Die Linearfaktordarstellung haben wir eigentlich, denn ich habe den Satz von Vieta angewandt und die erste Nullstelle ist der dritte Linearfaktor. Also:
f(x) = x³ - 4x² - 11x + 30
= (x - 2)(x - 5)(x + 3)

c)
Das ist seeehr simpel.
Du hast die Funktionsgleichung ja schon in Linearfaktoren vorliegen. Das bedeutet, deine Funktionsgleichung ist ein Produkt. Und wir wissen:
Ein Produkt ist gleich Null, wenn wenigstens einer der Faktoren gleich Null ist.
Also müssen wir sehen, wann die Linearfaktoren gleich Null sind:
(x + W(2))(x - W(2))(x + 7)(x - 7) = 0
<=>
x+W(2)=0 oder x-W(2)=0 oder x+7=0 oder x-7=0
<=>
x =-W(2) oder x=W(2) oder x=-7 oder x=7

Das ist das ganze Kunststück. Darauf beruht ja der Satz von Vieta: Man kann aus der Gleichung die Zerlegung in Linearfaktoren ablesen und somit auch sofort die Nullstellen bestimmen.
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Vanessa
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 19:45:   Beitrag drucken

Mensch Martin, du hast es gut, kannst die SIMPSONS SEHEN, WÄREND ich für die schule büffeln muss.


Vielen vielen vielen dank !!!

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