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Beitrag |
    
Nadine Bailot (Dine)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 10:11: | 
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Wer kann mir helfen folgende aufgabe zu lösen, ich finde noch nicht mal einen ansatz. vieken dank schon mal im voraus.
man beweise induktiv: für alle n aus N und alle q aus Q mit q ungleich 1 gikt:
j=0 bis n-1 (j+1)q(hoch j)=
=1-(n+1)q(hoch n)+n*q(hoch n+1)
-------------------------------
(1-q)(hoch 2)
dabei ist q(hoch 0)=1. Bemerkung: wir haben uns auf q aus Q beschränkt, da die erörterung von R noch nicht abgeschlossen ist. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 12:21: |
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Hi Nadine
Die Behauptung ist also: Sn-1 k=0(k+1)qk=[1-(n+1)qn+nqn+1]/(1-q)2 |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 12:35: |
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jetzt geht es weiter:
Fuer n=1 steht auf der linken Seite: q0=1, auf der rechten Seite steht: [1-2q+q2]/(1-q)2, also steht nach der binomischen Formel im Zaehler und Nenner das Gleiche, also ist das auch 1.
Jetzt nehmen wir an, die Behauptung ist fuer n-1 richtig, und berechnen diese Summe fuer n:
Sn-1 k=0(k+1)qk jetzt besteht der Trick darin, diesen Term mit der Behauptung fuer n-1 zu zeigen. Hier ist das besonders einfach, man muss nur den letzten Summanden abspalten:
=Sn-2 k=0(k+1)qk + nqn-1
Nach der Induktionsvoraussetzung koennen wir diese Summe mit einer Formel darstellen (wir muessen nur jedes n durch n-1 ersetzen):
=[1-nqn-1+(n-1)qn]/(1-q)2+nqn-1
Jetzt kommt einfach nur noch Bruchrechnung:
=[1-nqn-1+(n-1)qn]/(1-q)2 + nqn-1*(1-q)2/(1-q)2
Jetzt haben beide Brueche den gleichen Nenner, wir koennen also die Zaehler addieren, gleichzeitig multiplizieren wir den Zaehler des zweiten Bruches aus:
Ich hab leider keine Zeit mehr, der Rest folgt spaeter.
viele Gruesse
SpockGeiger |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 14:37: |
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Hi Nadine
weiter geht's:
=[1-nqn-1+(n-1)qn + nqn-1 -2nqn + nqn+1]/(1-q)2
Jetzt muessen wir nur noch im Zaehler die Summanden zusammenfassen:
=[1-(n+1)qn+nqn+1]/(1-q)2
Und das ist genau unsere Formel, also die Behauptung.
viele Gruesse
SpockGeiger |
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