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Beitrag |
    
weißnichwie
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 03:38: | 
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y'' - 2y' + y = (2e^x)/(x^3) |
H.R.Moser,megamath.h
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 12:48: |
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Hi weissnichwie ,
Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen DGl.
zweiter Ordnung
y '' - 2 * y ' + y = 2 * e ^ x / x^3 lautet:
y = ( C1 * x + C2 ) * e ^ x + e ^ x / x
Herleitung
A]
Lösung der homogenen Gleichung
Charakteristische Gleichung
k ^ 2- 2 k + 1 = 0
Doppellösung k1 = k2 = 1.
Allgemeine Lösung yH der homogenen Gleichung
yH = ( C1 * x + C2 )* e ^ x.
B]
Partikuläre Lösung yP der inhomogenen Gleichung
Ansatz: y = a * e ^ x / x , daraus mit der Quotientenregel:
y ' = a* ( x * e ^ x - e ^ x ) / x ^ 2 = a * e ^ x / x - a* e ^ x / x^2
y ' ' = a*e^x/x - 2*a* e ^ x / x ^ 2 + 2* a * e ^ x / x ^ 3
Setzt man diese Werte in die DGl ein und vereinfacht, so kommt:
2*a*e ^ x / x ^3 = 2 * e ^x / x ^3
Daraus folgt a=1 m somit yP = e^x / x^3
C]
Durch Superposition von yH und yP entsteht die unter A] erwähnte
allgemeine Lösung.
Anmerkung
Der Ansatz in B] war naheliegend, weil
für die Störfunktion f(x) = e ^ (kx) im Fall der zweifachen Lösung k
bekanntlich
yP = a * x ^ 2 * e ^ ( kx) angesetzt wird.
Im vorliegenden Fall dividieren wir diesen Ansatz noch mit x ^ 3
und kommen damit zum Ziel !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Weißjetzschonmehr
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 17:02: |
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Ja, vielen Dank,
freundliche Grüße
Weißjetzschonmehr |
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