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weißnichwie
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 03:38: |
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y'' - 2y' + y = (2e^x)/(x^3) |
H.R.Moser,megamath.h
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 12:48: |
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Hi weissnichwie , Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen DGl. zweiter Ordnung y '' - 2 * y ' + y = 2 * e ^ x / x^3 lautet: y = ( C1 * x + C2 ) * e ^ x + e ^ x / x Herleitung A] Lösung der homogenen Gleichung Charakteristische Gleichung k ^ 2- 2 k + 1 = 0 Doppellösung k1 = k2 = 1. Allgemeine Lösung yH der homogenen Gleichung yH = ( C1 * x + C2 )* e ^ x. B] Partikuläre Lösung yP der inhomogenen Gleichung Ansatz: y = a * e ^ x / x , daraus mit der Quotientenregel: y ' = a* ( x * e ^ x - e ^ x ) / x ^ 2 = a * e ^ x / x - a* e ^ x / x^2 y ' ' = a*e^x/x - 2*a* e ^ x / x ^ 2 + 2* a * e ^ x / x ^ 3 Setzt man diese Werte in die DGl ein und vereinfacht, so kommt: 2*a*e ^ x / x ^3 = 2 * e ^x / x ^3 Daraus folgt a=1 m somit yP = e^x / x^3 C] Durch Superposition von yH und yP entsteht die unter A] erwähnte allgemeine Lösung. Anmerkung Der Ansatz in B] war naheliegend, weil für die Störfunktion f(x) = e ^ (kx) im Fall der zweifachen Lösung k bekanntlich yP = a * x ^ 2 * e ^ ( kx) angesetzt wird. Im vorliegenden Fall dividieren wir diesen Ansatz noch mit x ^ 3 und kommen damit zum Ziel ! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
Weißjetzschonmehr
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 17:02: |
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Ja, vielen Dank, freundliche Grüße Weißjetzschonmehr |
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