| Autor |
Beitrag |
    
anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Juni, 1999 - 07:44: | 
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2^2+4^2+6^2+...+(2n)^2=2/3*n*(n+1)*(2n+1)
für alle nEN*
Ich weiß, es ist sicherlich aufwendig, aber bitte bitte den gesamten Weg zum Ergebnis (wie für Doofe). Ich möchte es endlich begreifen.
Vielen Dank. |
Andreas
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Juni, 1999 - 18:54: |
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Eigentlich muss man nur zwei sachen machen. Zuerst muss man die Behauptung für das kleinste n (meist 0 oder 1) hinschreiben und sich davon überzeugen, dass das stimmt. Danach muss man sie für n+1 beweisen, wobei man allerdings verwenden darf, dass sie für n gilt. Klingt vielleicht verrückt, ist aber genau der Kern der Sache.
Also denken wir uns mal in deiner Behauptung n=1. Was ist dann die linke Seite? Sie ist einfach nur 2^2.
Was ist nun die rechte Seite? Sie ist 2/3*1*2*3.
Beide Seiten ergeben 4, die Behauptung ist somit für n=1 bewiesen.
Jetzt schreiben wir gleich die linke Seite für n+1 hin. Der Trick besteht meistens darin, dass man das Ding so umformt, dass die 'normale' linke Seite mit n darin vorkommt. Dann ersetzt man diese durch die 'normale' rechte Seite und formt weiter um, bis man die rechte Seite mit n+1 hat.
Also denn:
Linke Seite mit n+1: 2^2+4^2+6^2+...+(2(n+1))^2
Jetzt umformen, so dass die 'normale' linke seite auftaucht: = 2^2+4^2+6^2+...+(2n)^2+(2n+2)^2
Jetzt die 'normale' linke durch die 'normale' rechte ersetzen: = 2/3*n*(n+1)*(2n+1) + (2n+2)^2
umformen: = 2/3*(2n^3+n^2+2n^2+n)+4n^2+8n+4 = 2/3*(2n^3+9n^2+13n+6)
Jetzt muss man sich erinnern, was man überhaupt zeigen will. Wir wollen zeigen, dass hier die rechte seite mit n+1 rauskommt. Es soll also 2/3*(n+1)*(n+2)*(2n+3) rauskommen. Am besten multiplizieren wir das einfach mal aus und schauen, ob es mit dem identisch ist, was wir oben gefunden haben.
Also: 2/3*(n+1)*(n+2)*(2n+3) = 2/3*(2n^3+3n^2+4n^2+6n+2n^2+3n+4n+6) = 2/3*(2n^3+9n^2+13n+6).
da dies mit obigem absolut identisch ist, ist der Beweis beendet. Ich kann diese Nachricht absenden, den Computer abschalten und mich mit nem Bier vor die glotze setzen und du kannst versuchen das Ding zu kapieren und zur Not noch ne Message schreiben.
Gruß Andreas |
anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 1999 - 12:05: |
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Hallo Andreas, ich hoffe, das Bier hat dir geschmeckt, gönne es dir. Du hast mir sehr geholfen. Sollte ich noch Fragen haben, komme ich gerne auf dich zurück.
Nochmals vielen Dank. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Oktober, 1999 - 18:12: |
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Es gilt für alle n e N ist K(n) := 11^(n+2) + 12^(2n+1) durch 133 teilbar. Wie soll ich das beweisen??? |
Clemens
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Oktober, 1999 - 19:25: |
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Hi, du willst zeigen:
Es gilt für alle n e N ist K(n) := 11n+2 + 122n+1 durch 133 teilbar.
d.h. es gibt für alle n ein k(n) aus N, daß K(n) = 133*k(n), ok?
Induktionsanfang:
n = 0: 113 + 123 ? 23*133 ok
Induktionsvoraussetzung: für ein n gibt's so ein k(n), sodaß K(n) = 133*k(n)
Induktionsschluß: wir wollen zeigen: wenn K(n) durch 133 teilbar ist, dann ist es auch K(n+1)
K(n+1) = 11n+1+2 + 122n+2+1 = 11 * 11n+2 + 12² * 122n+1 =
nun gilt aber 11n+2 = 133*k(n) - 122n+1 laut Induktionsvorraussetzung also
K(n+1) = 11 * (133*k(n) - 122n+1) + 12² * 122n+1 =
= 133 * 11*k(n) + (144-11) * 122n+1 = 133 * (11*k(n) + 122n+1) := 133 * k(n+1)
/Clemens |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Oktober, 1999 - 09:55: |
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Hallo Andreas
Kennst du dich auch in Physik aus??? |
Gerd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Oktober, 1999 - 21:22: |
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gib mal physik in die easybox-Mathe/Archivsuche auf der Hauptseite ein. Da findest du ne menge Aufgaben/Links/Leute ...
Gerd |
Jens
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2000 - 14:56: |
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Hallo !
Ich bräuchte Hilfe bei folgendem Induktionsbeweis:
k³ = n²(n+1)²/4
Für n=1 ist die Aussage wahr
n=n+1 sieht folgendermaßen aus:
k³+(n+1)³ = (n+1)²(n+2)²/4
Schluß: k³+(n+1)³ = n²(n+1)²/4 + (n+1)³
Durch Umformerei kommt man dann irgendwann auf:
n²(n+1)² + 4((n+1)³ / 4
Der nächste Schritt sieht dann so aus:
(n+1)² + (n²+4(n+1)) / 4
Nun meine Frage: Wohin verschwindet das n², das ganz am Anfang steht und wo ist die ³ von diesem Klammerausdruck geblieben und wieso heißt es plötzlich (n² PLUS 4... ????
Wäre nett wenn mir das jemand beantworten könnte!
Danke !
Jens
PS: Wie wird folgendes bewiesen :
(1+x)^n >= 1+nx für x > 1 x Element von R
n Element von N |
Ingo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Januar, 2000 - 02:16: |
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1)Da ist ein Rechenzeichen falsch.Es muß (n+1)2(n2+4(n+1))/4 heißen.Es wurde nämlich (n+1)2 ausgeklammert.Durch die mangelnde Klammersetzung war das vielleicht nicht so leicht zu sehen.
2)Mit dem Binomischen Lehrsatz
(1+x)n=1+nx+n(n-1)/2 x2+...³1+nx
denn 1+nx sind nur die ersten beiden Glieder der Reihe,alle anderen sind nicht negativ,also wird das abgeschätzte Ergebnis kleiner sein. |
Jens
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Januar, 2000 - 18:13: |
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Hallo Ingo !
Erstmal danke für Deine Hilfe !
Bei dem ersten Beweis ist in der Tat ein Rechenzeichen falsch, wie der zweite funktioniert ist mir allerdings noch nicht richtig klar.
Vielleicht könntest Du das noch mal erklären ?
Jens |
Ingo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Januar, 2000 - 00:02: |
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Sagt Dir Binomischer Lehrsatz etwas ?
(a+b)n=Sn k=0(n;k)an-kbk
Dabei steht (n;k) für "n über k" ,also n!:(k!(n-k)!)=[n(n-1)(n-2)...(n-k+1)]/[k(k-1)(k-2)...2*1]
Auf (1+x)n angewandt ergibt das
(1+x)n=Sn k=0(n;k)1n-kxk=Sn k=0(n;k)xk
=(n;0)*1+(n;1)*x+(n;2)x2+(n;3)x3+...+(n;n)xn
=1+nx+n(n-1)/2 x2+...+xn
=1+nx+((n;2)x2+(n;3)x3+...+(n;n)xn)
Da x>0 und (n;k)>0 ist die Summe in Klammern größer als 0,also 1+nx<1+nx+...=(1+x)n
Vielleicht wird es für n=2 und n=3 etwas deutlicher :
(1+x)2=1+2x+(x2)>1+2x
(1+x)3=1+3x+(3x2+x3)>1+3x |
Jens
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Januar, 2000 - 14:46: |
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Hallo Ingo !!
Alles paletti...
Danke ! |
Catriona (Catriona)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 10:02: |
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Hi,
hab da ein Problem ... ich hab eine Aufgabe und ne Loesung und weiss nicht, wie ich vom einen zum anderen komme ...
Aufgabe: Man zeige durch vollstaendige Induktion:
Fuer jedes n e N mit n>=10 ist 2^n > n^3
Fuer die Loesung der Aufgabe wurde als erster Schritt ein Kunstgriff verwendet, den ich nicht verstehe:
Es sei n e N, n>=4,
dann gilt 1/n <= 1/4
1+1/n <= 5/4
(1/(1+1/n))>=4/5
und daher
2(n/n+1)^3=2(1/1+1/n)^3>=2*64/125+128/125>1
Frage: wie kommt man zunaechst auf n>=4 und weshalb kann man statt (1/(1+1/n)) dann mit 2(n/n+1)^3 weiterarbeiten? Wo kann man solche Umformulierungen nachschlagen? |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 13:39: |
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Hallo Catriona,
Ich zeige den Induktionsschluss ohne den "Trick":
Unsere Hypothese: 2n > n³ für n³10
Wir müssen beweisen:
1) Hypothese stimmt für den Induktionsanfang
2) Falls Hypothese für n richtig ist, dann ist sie auch für (n+1) richtig
=======================
Induktionsanfang: n=10
210=1024
10³=1000
1024 > 1000
Also richtig !
==================
Jetzt beweisen wir 2)
Wir setzen statt n (n+1) in die Hypothese ein:
2n+1 > (n+1)³ dies müssen wir nun beweisen.
Linke Seite: 2n+1 = 2n*2 = 2n+2n
Rechte Seite: (n+1)³ = n³+3n²+3n+1
Wir haben also:
2n+2n > n³+3n²+3n+1
Da die blauen Terme für (sich betrachtet) richtig sind,
bleibt nur noch zu zeigen, dass:
2n > 3n²+3n+1 ist.
Dies muss aber richtig sein, weil nach unserer Hypothes, (die wir ja als richtig voraussetzen), 2n sogar > n³+3n²+3n+1.
Wir haben also bewiesen, dass 2n+1>(n+1)³ (falls 2n>n³).
=====================
Nun folgt:
Hypothese für n=10 richtig
daher auch für n=11 richtig
daher auch für n=12 richtig
.
.
daher für alle n ³ 10 richtig.
=================================== |
Catriona (Catriona)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 09:05: |
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Hi Fern,
Danke fuer Deine Erlaeuterungen zu meiner Frage, langsam wird es "etwas heller". Da ich nicht grad der "Mathecrack" bin, erscheinen mir Induktionsbeweise haeufig wie "Schwarze Magie" :o)
Catriona |
Amy
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. September, 2000 - 13:54: |
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Hallo leute, ich habe ein echtes problem kann mir jemand den beweis der induktion von 1^4 + 2^4+...+n^4=?????
mailen. es ist sehr sehr....... eilig. die formel scheint bei mir nicht richtigzu sein, deshalb habe ich sie ausgelassen
BITTEEEEEE!!
ciao amy |
Kai
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 23:01: |
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Ja was ist denn Deine Vermutung? Bevor man eine vollständige Induktion rechnet, muß man das Ergebnis ja bereits vermuten.
Hast Du eine Vernutung?
Kai |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. September, 2000 - 14:12: |
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Hi Amy
Eine Reihe der Form Sn i=1ik hat als Loesung immer ein Polynom vom Grad k+1 (in Deinem Fall 5), wobei der konstante Term verschwindet. Setzt man hier also 5 Werte ein, bekommt man ein lineares Gleichungssystem, dessen Loesung ist:
1/30*n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)
Induktionsvoraussetzung: Nachrechnen!
Induktionsschluss:
Sn k=1k4=Sn-1 k=1k4+n4
Nach Induktionsvoraussetzung
=1/30*(n-1)(n-1+1)[2(n-1)+1][3(n-1)²+3(n-1)-1]+n4
=1/30*(n-1)n(2n-1)(3n²-3n-1)+n4
=1/30*n[(n-1)(2n-1)(3n²-3n-1)+30n³]
Nun muss man die zeigen, dass die grosse Klammer =(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1). Am einfachsten wahrscheinlich, wenn man beide Audruecke ausmultipliziert, und vergleicht. Versuch's mal alleine.
viele Gruesse
SpockGeiger |
reservoirdog (Reservoirdog)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Oktober, 2000 - 14:17: |
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Hätte da ein paar Beispiele zur Vollständigen Induktion, die leider rekursiv definiert sind. Vollständige Induktion is mir klar wie sie geht, aber bei rekursiv definierten Angaben kenn ich mich leider nicht aus. z.B.: a1= 2, an+1=2-1/an, dann gilt an=2^(n-2), n>=2 |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Oktober, 2000 - 15:21: |
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Hallo reservoirdog,
kann das stimmen?
Ich lese
a1=2
an+1= 2 - 1 / an
Ich will mal ein paar Werte ausrechnen:
n | an
--+-------
1 | 2
2 | 2 - 1/2 = 3/2
3 | 2 - 1/(3/2) = 4/3
...
Da würde ich behaupten
an = n/(n-1) für n>1
aber nicht 2n-2.
Sag mal was dazu.
Gruß
Matroid |
reservoirdog (Reservoirdog)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Oktober, 2000 - 16:39: |
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Tschuldige! Hab aus Versehen was vom nächsten Beispiel mitreingenommen.
an=(n+1)/n
Gibt´s da irgendein Prinzip, dem man folgen kann, wenn was rekursiv definiert is? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Oktober, 2000 - 17:09: |
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Die schwierigere Frage bei rekursiv definierte Folgen ist die, wie man eine geschlossene Form findet. In deiner Aufgabe ist die Vermutung an=n/(n-1) aber nach einigen ausgerechneten Werten leicht zu raten. Und andererseits mußtest Du das ja auch gar nicht raten, denn die Aufgabe war ja schon mit der Vermutung an=n/(n-1) gegeben.
Um jetzt die Vermutung zu beweisen, muß man nichts besonderes beachten. Ziel ist eine vollständige Indutkion.
Für n=2 ist die Behauptung wahr.
Und nun der Schluß von n auf n+1.
Wenn also die Behauptung an=n/(n-1) wahr ist,
dann ist jetzt zu zeigen, daß auch an+1=(n+1)/((n+1)-1) wahr ist.
Wegen der rekursiven Definition ist an+1=2-1/an. [*]
Und nach Voraussetzung der vollständigen Induktion hier: an = n/(n-1). [**]
Gleichung [**] in [*] einsetzen, bischen umformen und umordnen, dann steht da
an+1=(n+1)/n
und das war zu zeigen.
Das Problem bei dieser Aufgabe ist eher, daß sie sehr einfach ist und man (ich) Mühe hat, keinen Beweisschritt auszulassen (weil er zu klar scheint).
Was waren die Schritte:
1. Induktionsanfang nachprüfen: a{2}
2. Induktionsbehauptung aufstellen: an+1
3. an+1 mittels der gegebenen Rekursion ausdrücken. In dem Ausdruck kommt an vor.
4. an durch die für n schon erlaubt Formel ersetzen und in Ausdruck aus 3. einsetzen.
5. Ersetzen Ausdruck aus 3. umformen, bis man das gewünschte Ergebnis sieht.
Gruß Matroid |
Dennis
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Oktober, 2000 - 11:44: |
|
Ich habe folgendes Problem:
Ich soll folgende Aussageform durch vollständige Induktion beweisen:
G(n):1^2+2^2+3^2+...+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
Induktionsanfang:
Für n=1 gilt 1^2= 1(1+1)(2*1+1)/6
1 = 6/6 =1
Induktionsschluss:
Wenn G(n) gilt, dann gilt g(n+1) für alle n.
Zu beweisen ist:
Wenn 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6, dann
1^2+2^2+3^3+...+n^2+(n+1)^2 = (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)/6
Ich addiere auf beiden Seiten von G(n) n+1)^2
1^2+2^2+3^3+...+n^2+(n+1)^2 = n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)^2
Wie kann ich die rechte Seite nach (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)/6 umformen. Ich habe schon viel ausprobiert schaffe es aber nicht dorthin umzuformen. Ist mein Ansatz überhaupt richtig? |
Den
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Oktober, 2000 - 11:46: |
|
Ich habe folgendes Problem:
Ich soll folgende Aussageform durch vollständige Induktion beweisen:
G(n):1^2+2^2+3^2+...+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
Induktionsanfang:
Für n=1 gilt 1^2= 1(1+1)(2*1+1)/6
1 = 6/6 =1
Induktionsschluss:
Wenn G(n) gilt, dann gilt g(n+1) für alle n.
Zu beweisen ist:
Wenn 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6, dann
1^2+2^2+3^3+...+n^2+(n+1)^2 = (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)/6
Ich addiere auf beiden Seiten von G(n) den Summanden (n+1)^2
1^2+2^2+3^3+...+n^2+(n+1)^2 = n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)^2
Wie kann ich die rechte Seite nach (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)/6 umformen. Ich habe schon viel ausprobiert schaffe es aber nicht dorthin umzuformen. Ist mein Ansatz überhaupt richtig? |
Dennis20
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Oktober, 2000 - 11:50: |
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Ich habe folgendes Problem:
Ich soll folgende Aussageform durch vollständige Induktion beweisen:
G(n):1^2+2^2+3^2+...+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
Induktionsanfang:
Für n=1 gilt 1^2= 1(1+1)(2*1+1)/6
1 = 6/6 =1
Induktionsschluss:
Wenn G(n) gilt, dann gilt g(n+1) für alle n.
Zu beweisen ist:
Wenn 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6, dann
1^2+2^2+3^3+...+n^2+(n+1)^2 = (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)/6
Ich addiere auf beiden Seiten von G(n) den Summanden (n+1)^2
1^2+2^2+3^3+...+n^2+(n+1)^2 = n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)^2
Wie kann ich die rechte Seite nach (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)/6 umformen. Ich habe schon viel ausprobiert schaffe es aber nicht dorthin umzuformen. Ist mein Ansatz überhaupt richtig? |
sparre
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Oktober, 2000 - 19:17: |
|
Ich soll durch vollständige Induktion nachweisen,
daß die Potenzmenge A gleich 2 hoch n ist.
Bitte helft mir ganz schnell.
P(A)=2^n
Jörg |
anja
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 11:29: |
|
Hey, gaanz ganz dringend:
Beweise durch vollständige INDUKTION,dass für alle n e N gilt: n7 -n ist teilbar durch 7!!!
Entweder das ist zuu einfach oder ich sollte nochmal bei klasse 7 vorbeischauen.SOS.DANKE |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 12:10: |
|
Hi Anja
Induktionsvoraussetzung: n=1: 17-1=0 ist teilbar durch 7
Induktionsschritt: Wir nehmen an, die Behauptung ist fuer n wahr, und beweisen sie auf der Grundlage fuer n+1:
(n+1)7-(n+1)
Nach der binomischen Formel:
=n7+7n6+21n5+35n4+35n3+21n2+7n+1-n-1
Jetzt ordnen wir das ein wenig um, um die Induktionsvoraussetzung besser erkennen zu koennen(1 und -1 heben sich auf, und -n schiebe ich weiter nach vorne):
=n7-n+7n6+21n5+35n4+35n3+21n2+7n
Und jetzt sind wir fertig, denn die ersten beiden Summande zusammen ergeben die Induktionsvoraussetzung, sind also durch 7 teilbar, und danach kommen nur noch Summanden, die als Koeffizienten ein Vielfaches von 7 haben.
viele Gruesse
SpockGeiger |
anja
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 16:16: |
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DANKE!!! ist doch gar nicht so schwer wie ich dachte... |
Nicole
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 13:06: |
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Muss bis morgen beweisen:
47 teilt (7(hoch)2*n)-2(hoch)n.Wer kann mir helfen?Aufgabe ist nicht vom Gymnasium,sondern Uni-Lehramt für GH.
Danke!! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 18:53: |
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Hallo Nicole,
schau mal bei http://www.zahlreich.de/cgi-bin/hausaufgaben/show.cgi?4244/6950
Gruß
Matroid |
Kate
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 15:54: |
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Hi. Ich hoffe mich hört hier jemand...
Ich muß bist zum 30.11.2000 eine Hausarbeit zum Thema : "Beweisverfahren der vollständigen Induktion" anfertigen.....
Habe aber nich so richtig(eigendlich gar keinen )Schimmer davon....
Kanns mir jemand n bischen idiotensicher erklären, so das ich von meinem 06 er Notenpunktstand im LK runter komme???? |
anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 17:43: |
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Bei neuer Frage: immer neuen Beitrag öffnen und nicht an bestehende Fragen anhängen. |
thomas
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. November, 2000 - 01:40: |
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viel Stoff für dieses Thema findest Du hier VollständigeInduktion... |
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