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Friedrich
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 1999 - 11:24: |
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Beweis, daß die Summe der Zahlen in jeder Ebene des Pascalschen Dreieck 2^(n-1) entspricht. (durch Vollständige Induktion!) z.B. für Ebene 5: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 2^(5-1) = 16 Das Pascalsche Dreieck ist ein Zahlenschema, bei dem sich die Zahlen Ebenenweise immer aus der links und rechts darüberliegenden Zahlen ergibt. E-Mail: f.strehlow@topmail.de Ebene 1: 1 Ebene 2: 1 1 Ebene 3: 1 2 1 Ebene 4: 1 3 3 1 Ebene 5: 1 4 6 4 1 |
Clemens
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 1999 - 15:56: |
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Hallo, Friedrich! Definieren wir mal das Pascalsche Dreieck etwas mathematischer. P(i,k) ist die Zahl in i-te Zeile und die k-te Spalte des Dreiecks. Für alle i aus N gilt: P(i,1) = P(i,i) = 1 wenn 1<k<i und i aus N dann gilt: P(i,k) = P(i-1,k) + P(i-1,k-1) Induktionsanfang: i=1 P(1,1) = 1 = 2^(0) = 21-1 ok Induktionsbehauptung: für ein i aus N gilt: Si k=1P(i,k) = 2i-1 Induktionsschluß wir nehmen an, daß die Induktionsbehauptung für i-1 wahr ist, also Si-1 k=1P(i-1,k) = 2i-2 Si k=1P(i,k) = das erste und das letzte Glied ist 1, auf die restlichen wenden wir die Definition des Dreiecks an. = 2 + Si-1 k=2P(i,k) = 2 + Si-1 k=2[P(i-1,k) + P(i-1,k-1)] = die summe spalten wir auf und bekommen = 2 + Si-1 k=2P(i-1,k) + Si-1 k=2P(i-1,k-1) = letztere Summe schreiben wir um, indem wir eine index-shift k->k-1 machen = 2 + Si-1 k=2P(i-1,k) + Si-2 k=1P(i-1,k) = nun lassen wir die Indices voll durchlaufen indem wir P(i-1,1) und P(i-1,i-1) abziehen, der 2er fällt weg = Si-1 k=1P(i-1,k) + Si-1 k=1P(i-1,k) = 2*[Si-1 k=1P(i-1,k)] dies ist nach Induktionsvoraussetzung = 2*2i-2 = 2*i-1 q.e.d. /Clemens |
Friedrich
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. Oktober, 1999 - 18:44: |
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Mensch, daß ich da nicht selber draufgekommen bin! |
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