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Beitrag |
    
Martin
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 10:44: | 
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Hallo!
Gegeben sei die DGL: x^3*y'-2y=0
a)Vollständige Lösung.
b)Lösung mit Randbedingung y(1)=2/e.
c)Lösungsfunktion auf Definitionsbereich, Symmetrie, asymptotisches Verhaltem, Extrempunkte und Wendepunkte untersuchen.
Meine Lösung:
a)y(x)=C*2e^ln(x^3)
b)y(x)=e*2e^ln(x^3)
c)???
Richtig?
Wer kann mir mit c)helfen?
Vielen Dank im voraus, Martin. |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 12:21: |
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Hallo Martin,
x³y'-2y=0
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a)
y'/(2y)=1/x³
ò dy/(2y) = ò dx/x³
½ln(y) = -1/(2*x²)+C
y = C*e-1/x²........allgemeine Lösung
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b)
y(1)=2/e
2/e = C*e-1
C = 2
yp = 2*e-1/x²
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c)
Mit dieser Funktionsgleichung kann man nun eine normale Kurvendiskussion durchführen.
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Martin
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 16:34: |
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Hallo!
Ich hätte da noch zwei DGL's:
a)-x^2=ay-axy' mit a>0
Randbedingung y(1)=-1/a
b)xy'-y(1-2x^2)=0
Anfangsbedingung y'(0)=1
Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse?
Vielen Dank, Martin. |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 17:58: |
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Hallo Martin,
Aufgabe a)
axy'-ay=x²
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Wir bringen die Gleichung auf die Form:
y'-(1/x)y=x/a
und ermitteln den sogenannten integrierenden Faktor:
eò P(x)dx mit P(x) der Koeffizient, der vor y steht.
in unserem Fall also: P(x)=-1/x
ò (-1/x)*dx = -ln(x)
Integrierender Faktor= e-ln(x) = 1/x
=======
Nun multiplizieren wir unsere Gleichung mit diesem Faktor:
y'/x-y/x²=1/a
dann ist:
y/a=ò (1/a)dx = (1/a)x + C
y(x)=(1/a)x²+Cx......allgemeine Lösung
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Jetzt noch die Randbedingung: y(1)=-1/a
y(1)=1/a+C=-1/a
C=2/a
yp(x) = x²/a + 2x/a
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 20:05: |
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Hi Martin,
Zur Lösung von Aufgabe b) wirke ich als eine Art Ablösung
Hier mein Beitrag:
Es liegt eine inhomogene lineare DGl. erster Ordnung vor
Wir lösen - wie üblich - zuerst die homogene Gleichung
durch Separation der Variablen: dy / y = dx /x .
Wir erhalten sofort aus ln y = ln x + ln k
y = k * x mit k als Integrationskonstante
Zur Lösung der inhomogenen DGl. verwenden wir die Methode
der Variation der Konstanten: k wird zur Funktion k = k(x) in x.
Aus y = k(x) * x folgt mit der Produktregel:
y ' = k' * x + k ; dies setzen wir in die inhomogene Gleichung ein;
es entsteht eine DGl. für k(x), nämlich:
k' * x ^ 2 + k * x - k * x + 2 * k * x ^ 3 = 0
und nach Vereinfachung:
k' / k = - 2 * x
Integration liefert ( c ist eine Integrationskonstante):
ln k = - x ^ 2 + ln c oder
k = c* e ^ ( - x ^ 2 )
als allgemeine Lösung der gegebenen DGl.
erhalten wir aus y = k * x:
y = c * x * e ^ ( - x ^ 2 )
Die Ableitung dieser Funktion lautet:
y ' (x) = c* e ^ ( - x ^ 2 ) - 2 c * x ^ 2 * e ^ ( - x ^ 2 ).
Soll nun y' (0) = 1 gelten, so müssen wir c = 1 setzen
Also gilt als Sonderlösung:
y = x * e ^ ( - x ^ 2 )
Eine Stammfunktion für y lautet :
F(x) = - 1 / 2 * e ^ ( - x ^ 2 )
Das Integral in den Grenzen 0 bis unendlich beträgt 1/2
usw.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 22:04: |
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Hallo Fern, von deiner drittletzten Zeile erhalte ich C=-2/a (Funktion dann yp(x) = x²/a - 2x/a)
...oder sollte Martin das merken?
Gruß
Der noch monoton über die Monotonie grübelnde
Bernd |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 23:05: |
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Hallo Bernd,
Danke für den Hinweis.
Du hast natürlich vollkommen Recht: C=-2/a
Gruß, Fern |
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