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Martin
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 22:10: |
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Hallo! Ich hoffe mir kann jemand helfen! DGL f''(x)+k^2*f(x)=2k mit k ungleich 0 a)Geben sie die allgemeine Lösung der DGL an. b)Für welche Eigenwerte k gibt es Lösungen mit den Randbedingungen (L > 0) f(0)=0, f'(0)=0 und f''(L)=0 c)Wie lauten die Lösungen zu den jeweils beiden kleinsten positiven Eigenwerten? Geben sie die Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte an. Ich habe als allgemeine Lösung y=C1+C2*e^-k^2 +2 heraus. Kann das sein? Schon mal vielen Dank, Martin. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 08:22: |
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Hi Martin, Zunächst soll Teilaufgabe a) gelöst werden Wie üblich, löst man zuerst die homogene Gleichung y '' + k ^ 2 * y = 0 Die charakteristische Gleichung lautet: Lambda ^ 2 + k ^ 2 = 0 ; die Lösungen sind imaginär: Lambda 1 = i * k , lamda 2 = - i * k. Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist somit y = c1 * cos (kx) + c2 * sin (kx) ; c1 , c2 const. Für die Gewinnung einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung taugt der Ansatz: y = a (constans); eingesetzt in die inhomogene Gleichung ergibt die Relation: 0 + k ^ 2 * a = 2 * k ; daraus a = 2 / k Diese partikuläre Lösung y = 2 / k wird zur obigen Lösung der Homogenen Gleichung addiert; das Ergebnis ist die gesuchte allgemeine Lösung in Teilaufg.a) y = c1 * cos (kx) + c2 * sin (kx) + 2 / k Gruss H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 11:37: |
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Hi Martin, Nun ist die Teilaufgabe b) an der Reihe. y (0) = 0 hat c1 = - 2 / k zur Folge. Damit wird die erste Ableitung zu: y ' (x) = 2 / k * sin (k*x) + k * c2 * cos(k*x) Wegen der Bedingung y ''(0 ) = 0 muss c2 null sein. Wir haben somit die partikuläre Lösung für die verlangten Bedingungen: y (x) = - 2 / k * cos ( k* x ) + 2 / k mit y'(x) = 2* sin (k*x ) y ''(x) = 2* k * cos (k*x ) Einsatz von L: Bedingung: y '' (L ) = 2* k * cos ( k * L ) = 0 , daraus: k* L= Pi / 2 oder k * L = 3 * Pi / 2 usw. , somit: k1 = Pi / (2 * L ) , k2 = 3 * Pi / ( 2 * L ) Gruss H.R.Moser,megamath. . |
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