| Autor |
Beitrag |
    
SCHAPPY
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 18:34: | 
|
Folgende Aufgabe ist zu lösen ;)
Beweise indirekt, dass jede beschränkte Folge einen Grenzwert besitzt!
Dabei fällt mir bloß ein, dass eine Folge, die zwei Schranken besitzt, also konvergent ist, stets einen Grenzwert haben muss! Aber was soll ich denn dann bitte beweisen?
(an) sei beschränkte Zahlenfolge kann man doch schlecht als Vorraussetzung nehmen oder?
Bitte helft mir ;( schnell!!!
Danke im Voraus |
Armin Heise (Armin)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 20:24: |
|
Hallo,
Gegenbeispiel:
(an)=(-1)^n
die Folge ist nach oben und unten beschränkt durch 1 und -1, aber sie hat offensichtlich keinen Grenzwert. |
SCHAPPY
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. September, 2000 - 21:19: |
|
Ja danke für die prompte Antwort.
Klar die genannte Beispielfolge alternierd ja auch und außerdem ist sie auch divergent! Wir gehen mal davon aus, dass kovergente Folgen betrachtet werden sollen und diese logischerweise als beschränkt zu betrachten sind.
Außerdem besitzen Sie somit einen Grenzwert aber wie weise ich den nach?! |
dakir
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. September, 2000 - 09:33: |
|
Hallo Schappy,
es gibt wohl zwei sinnvolle Aufgabenstellungen dieser Art:
a) Beweise, daß jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.
b) Beweise, daß jede beschränkte und monotone Folge konvergent ist.
Zu a) Da die Folge beschränkt ist, liegt sie vollkommen in einem Intervall [s0, S0]. Sei m0 = (s0 + S0) / 2. (Also die Mitte des Intervalls) Dann liegen in [s0, m0] oder in [m0, S0] unendlich viele Folgenglieder. Bezeichnen wir das Intervall mit unendlich vielen Folgengliedern als [s1, S1] (Falls sowohl [s0, m0] als auch [m0, S0] unendlich vielen Folgenglieder enthalten, ist es egal, welches man wählt). [s1, S1] ist dann halb so groß wie [s0, S0]. Entsprechend kann man dieses Intervall auch wieder unterteilen, und wieder ein Intervall angeben, daß nur noch halb so groß wie [s1, S1] ist und unendlich viele Folgenglieder enthält. Verfährt man Induktiv erhält man also eine Folge von Intervallen [sn, Sn], deren Länge gegen 0 geht. Die Intervalle konvergieren also auf eine Zahl S, wobei S in jedem [sn, Sn] enthalten ist und in den [sn, Sn] jeweils unendlich viele Folgenglieder liegen und dazu noch die Intervalllänge gegen 0 geht (also sn - Sn < epsilon für jedes e. und beliebig große n). S ist somit Grenzwert einer konvergenten Teilfolge.
Zu b) Wir führen den Beweis für monoton steigende Folgen (für fallende verläuft er analog). Da die Folge beschränkt ist, existiert ein Supremum S.
Beh.: S ist Grenzwert der Folge.
Bew.: Für jedes e > 0 existieren zwischen S - e und S unendlich viele Folgenglieder. (Mindestens eins, da ja sonst S kein Supremum wäre, unendlich viele, weil es eins gibt und die Folge monoton wächst, d.h., wenn aN in [S - e, S] liegt, liegen auch alle an mit n > N drin). Für alle dieser Folgenglieder gilt sicher betrag(an - S) < e. Da mit aN auch alle an mit n>N dieser Bedingung genügen (und dies für jedes e > 0 möglich ist), ist schon bewiesen, daß die Folge gegen S konvergiert.
Viel Glück, Daniel |
SCHAPPY
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. September, 2000 - 16:06: |
|
Danke Daniel, blöderweise war das schon zu spät!
Auf jeden Fall lautet Dein Beweisgedanke ähnlich dem geforderten:
Voraussetzung: (an) sei beschränkt!
Definition des Grenzwertes: Die Zahl g heißt Grenzwert der Folge an, wenn in jeder noch so kleinen Epsilonumgebung von g unendlich viele Glieder der Zahlenfolge liegen, aber außerhalb nur endlich viele Glieder. D.h., es gibt eine Platznummer n0, von der an alle Glieder an in der Epsilonumgebung von g liegen.
Behauptung: Die Zahlenfolge an besitz zwei Grenzwerte!
Beweis:
(1) Man denkt sich die y-Achse eines Koordinatensystems und zeichnet, z.B. 0 und 1 als gedachte Grenzwerte ein, umgibt diese mit beliebigen Epsilon-Umgebungen und zeichnet Striche für die Folgeglieder von an ein.
Somit ergibt sich ein Bild, bei dem um 1 und 0 viel mehr Striche, als auf dem restlichen Strahl gehäuft auftreten. (Dies soll bloß verdäutlichen, wie eine solche Folge grafisch beschaffen sein müsste)
(2) In der Umgebung von Epsiolon 0 und in der Umgebung von Epsiolon 1 liegen jeweils unendlich viele Folgeglieder!
(3) Außerhalb der Umgebung von Epsilon 0 liegen mindestens unendlich viele Folgeglieder (die von Epsilon 1) sowie außerhalb der Umgebung von Epsilon 1 liegen mindestens unendlich viele Folgeglieder (die von Epsilon 0).
(4) --> Die Umgebung von Epsilon 0 und die Umgebung von Epsilon 1 könnnen nicht Grenzwert der Zahlenfolge, lt. Def. des Grenzwertes.
(Denn geht man von der Epsilonumgebung 0 aus, so liegt die Epsilonumgebung 1 außerhalb und enthält mindestens unendlich viele Glieder der Zahlenfolge!)
--> Es existiert keine Zahlenfolge mit zwei Grenzwerten, da ansonsten die Grenzwertdefinition verletzt würde!
Vielen Dank nochmal, und ich hoffe irgend jemand kann hiermit noch etwas anfangen, ich denke hier ist diese Erkenntnis gut aufgehoben ;)!!! |
tamara
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. September, 2000 - 18:12: |
|
siehe auch folgenden Beitrag zum Thema:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/5038.html
tamara |
Wiebke (Wiebke)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 22:33: |
|
Wozu ist überhaupt der Grenzwert Limes????
Kann mir jemand das hier erklären:
lim (x+a)=a+a=2a
x->a
Danke |
thomas
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. November, 2000 - 21:50: |
|
Der limes (Grenzwert) von x ist die Grenze einer Folge x(n) für n gegen Unendlich. Wenn also der limes von x leich a ist, dann kann man bei einer Addition den Grenzwert einfach einsetzen wie bei deinem Beispiel. Ein wichtiges Beispiel für den limes ist die Ableitung einer Funktion, nämlich
f'(x) = (lim h-> 0) (f(x+h)-f(x))/h)
Ich kann nicht einfach h= 0 setzen , denn Division
durch 0 ist nicht erlaubt. Trotzdem existiert der Grenzwert f'(x) und dazu brauche ich den limes, nämlich um die Steigung in einer Funktion so punktgenau wie möglich zu ermitteln (Stichwort Infinitesimalrechnung)
Wenn Du jetzt mehr Fragen als vorher hast, stelle sie, die Ableitung ist nur eine Anwendung des limes. |
Wiebke (Wiebke)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 21:03: |
|
Danke, Thomas für die Erklärung. Ich werde mir das noch mal durch den Kopf gehen lassen. Die Klausur gestern hab ich wahrscheinlich eh verhauen! |
|
