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christian (Christian18)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 21:49: | 
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Stelle die n-te Ableitung von 1:xhoch2 auf und beweise sie mit vollständiger induktion.
Danke schon mal für eure Hilfe |
Armin Heise (Armin)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 15:11: |
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Hallo Christian, erst einmal einige Ableitungen bilden, um auf eine Vermutung zu kommen, die man später per Induktion beweisen möchte
f(x)=1/x^2=x-^2
f'(x)=-2*x-^3
f''(x)=-2*(-3)*x-^4
=2*3*x-^4
Was erkennt man :
1.die Hochzahl beim x nimmt jedesmal um 1 ab, wobei sie bei der 1. Ableitung -3 ist
2. das Vorzeichen der Zahl vor dem x wechselt immer, wenn Du ein weiteres Mal ableitest
3. der Faktor vor dem x wird jedesmal mit der bisherigen Hochzahl multipliziert
Also kommt man auf die Vermutung, das die n-te Ableitung von f, die ich hier fn nenne so aussieht:
(+)fn(x)=(-1)^n*(x^(-2-n))*(n+1)!
=(-1)^n*(n+1)!*x^(-2-n) wobei n! das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen und demzufolge n+1 Fakultät das Produkt der ersten n+1 natürlichen Zahlen ist
Induktionsanfang : setze n=1 bei (+) ein und überprüfe, ob das Resultat wirklich mit dem berechneten f' übereinstimmt
Induktionsschritt :
zu zeigen : die n+1 -te Ableitung von f sieht so aus, wie (+), wenn man überall n durch n+1 ersetzt
benutzen darfst Du dabei, daß die n - te Ableitung wie (+) aussieht.
Benutze :
1. die n+1 - te Ableitung ist die erste Ableitung der n-ten Ableitung
2. alles was nicht von x abhängt kannst ist ein konstanter Faktor, wenn Du nach x ableitest. |
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