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Beitrag |
    
Marco (Geheimmcob)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 14:10: | 
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Ich weiss nicht, wie ich das beweisen soll!
Die Aufgabe:
1-2+2²-2³+....+(-2)^(n-1)
Das n-1 ist der Exponent von (-2)!
Bitte helft mir schnell, es ist sehr dringend! |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 17:17: |
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Was soll denn bewiesen werden? |
Marco (Geheimmcob)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 17:37: |
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Oh Sorry! Es muss bewiesen werden, dass Die dort angegebene Behauptung
= 1/3 - (-2)^n /3
ist.
Würd mich freuen, wenn das einer bis spätestens morgen schafft! |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 23:19: |
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n=1 : klar,denn 1=(-2)0
n->n+1
1-2+4-8+-...(-2)n-1+(-2)n
=(1/3)-(1/3)(-2)n+(-2)n
=(1/3)-(1/3)(-2)n(1-3)
=(1/3)-(1/3)(-2)n+1 |
Twieti
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Oktober, 2000 - 15:15: |
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Wer kann mir denn erklaeren, wie man dies mit vollstaendiger induktion beweist??
2^n-1 <=n! fuer n Element N; folgern Sie:
1+1/1!+1/2!+...+1/n!<3
Bitte, bitte bis morgen |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Oktober, 2000 - 18:15: |
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Hi Twieti
Ich weiss zwar nicht, ob dass erste als gegeben vorausgesetzt ist, aber wir beweisen dass mal trotzdem:
n=1: 1<=1 ok.
n-1->n:
das n koennen wir als >=2 voraussetzen, da wir n=1 schon erledigt haben, also die Schritte erst bei n=2 anfangen:
2n-1<=2{n}=2n-1*2
der erste Faktor ist nach Induktionsvoraussetzung <=(n-1)!, daher koennen wir weiterschreiben:
<=(n-1)!*2 und wg n>=2 <=(n-1)!*n=n!
Kommen wir nun zum zweiten Teil:
es reicht in solchen Faellen meistens nicht, als Induktionsvoraussetzung <3 zu nehmen, dass schraenkt nicht genug ein, denn wenn Du eine Zahl <3 nimmst, und dann z.B. wie hier 1/n!, also eine positive Zahl dazuaddierst, kann die Summe dann ueber 3 hinaus gehen. Was sinnvoll ist, diese Summen durch einen Term abzuschaetzen, der sich gut mit der Grenze (hier 3) vergleichen laesst.
Die Behauptung laesst sich moeglicherweise auch als Induktion formulieren, aber ich halte es hier fuer zu kompliziert
Ich schreibe die Summe auf der linken Seite mal in der kuerzeren Sigma-Notation:
Ausserdem benutze ich unser Lemmma 2^n-1<=n!, in dem ich die Kehrwerte davon betrachte (dann dreht sich das Ungleichheitszeichen um): 1/(2^n-1)>=1/n!
1+Sn k=11/k!<=1+Sn k=11/(2^k-1) und nun mache ich den Nenner jedes Summanden kleiner bzw. fuer k=1 bleibt er gleich, also ist dann jeder Summand mindestens so gross:
<=1+Sn k=11/2^(k-1)=1+Sn-1 k=01/2^k
Im letzten Schritt hab ich nur den Index veschoben, und nun werden wir das so umformen, dass wir es als geometrische Summe schreiben koennen, und dann geht die Abschaetzung von selbst:
=1+Sn-1 k=0(1/2)^k=1+(1-(1/2)^n)/(1-1/2)
jetzt werfe ich diese (1/2)^n im Zaehler weg, wodurch der Term echt groesser wird, dann brauchen wir es nur noch aufzuloesen:
<1+1/(1-1/2)=1+1/(1/2)=1+2=3
Somit haben wir eine Ungleichungskette, in der an einer Stelle ein echt groesser steht, somit ist die Behauptung bewiesen.
viele Gruesse
SpockGeiger |
Kaja
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 12:07: |
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Hi! Vielleicht kann mir einer helfen folgendes mit voll. Induktion zu beweisen:
1+q+q^2+q^3+q^4+...+q^n=(1-q^n+1)/(1-q)
Für q gilt: Element aus R/ ohne 1
Danke im voraus
Kaja |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 13:08: |
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n=0 : 1=(1-q)/(1-q) für q¹1
n->n+1
1+q+...+qn+1 = (1-qn+1)/(1-q) + qn+1
= (1-qn+1)/(1-q) + (qn+1-qn+2)/(1-q)
= (1-qn+1+qn+1-qn+2)/(1-q)
= (1-qn+2)/(1-q) |
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