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Beitrag |
    
eve (Eve)
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. August, 2000 - 13:16: | 
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woher leitet sich die quotientenregel ab??? |
adam
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. August, 2000 - 14:19: |
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Aus der Produktregel.
(u*v)' = u'v + uv'
[U*(1/V)]' = U'*(1/V) + U*(1/V)' = U'/V - (U/V²)*V'=
= (U'V - UV')/V² |
Katarina
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. August, 2000 - 21:57: |
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Andere Möglichkeit:
U(x) und V(x) sollen differenzierbare Funktionen sein.
Dann ist die Sekantensteigung von U:
mu=(U(x+h)-U(x))/h
Das kann man nach U(x+h) auflösen:
U(x+h)=U(x)+h*mu
Da U diff.bar ist, heißt das, dass
U'(x)=limh->0 mu ist.
Analog zu V:
mv=(V(x+h)-V(x))/h
V(x+h)=V(x)+h*mv
V'(x)=limh->0 mv
f(x)= U(x)/V(x)
Die Ableitung von f(x) ist nun
f'(x)=limh->0 mf
=limh->0 (f(x+h)-f(x))/h
=limh->0 (U(x+h)/V(x+h)-U(x)/V(x))/h
Nun multiplizieren wir Zähler und Nenner mit V(x)*V(x+h), um die Doppelbrüche wegzubekommen:
=limh->0 (U(x+h)*V(x)-U(x)*V(x+h))/(h*V(x)*V(x+h))
Nun setzen wir für U(x+h) den oben berechneten Ausdruck U(x)+h*mu ein, und für V(x+h) entsprechend V(x)+h*mv
=limh->0 ((U(x)+h*mu)*V(x)-U(x)*(V(x)+h*mv))/(h*V(x)*V(x+h))
=limh->0 ((U(x)*V(x)+h*mu*V(x)-U(x)*V(x)-h*U(x)*mv))/(h*V(x)*V(x+h))
=limh->0 ((h*mu*V(x)-h*U(x)*mv))/(h*V(x)*V(x+h))
=limh->0 ((mu*V(x)-U(x)*mv))/(V(x)*V(x+h))
Wenn nun h-> 0 strebt, wird mu zu U'(x) und mv zu V'(x) und so ergibt sich:
=((U'(x)*V(x)-U(x)*V'(x))/(V(x)*V(x))
=(U'V-UV')/V²
q.e.d.
Selbstverständlich ist die Methode über die Produkt- (und Ketten-) regel einfacher. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. August, 2000 - 23:27: |
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Adam setzt noch die Reziprokenregel ((1/f)'=-f'/f2) voraus.Wenn man es nur mit der Produktregel machen will geht es aber auch.
Definiere h=f/g .
Dann ist f=h*g und somit f'=h'g+g'h => h'=(f'-g'h)/g
einsetzen von h führt schließlich auf
(f/g)'=(f'-g'(f/g))/g=(f'g-g'f)/g2
q.e.d. |
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